Том 2. Электромагнетизм и материя

Наши прежние рассуждения практически достаточно полны для обычной работы, но мы собираемся применить здесь другой способ. Вы хотите знать почему? Причина заключается в том, что раньше мы считали показатель преломления вещественным (т. е. что никакого поглощения в материале не происходит). Однако есть и другая причина: вам следует уметь обращаться с волнами на поверхности с точки зрения уравнений Максвелла. Ответы, конечно, получатся одинаковые, но теперь уже путем непосредственного решения волновой задачи, а не с помощью правдоподобных рассуждений.

Я хочу подчеркнуть, что амплитуда отраженной от поверхности волны не определяется такими свойствами материала, как показатель преломления. Она зависит от чисто «поверхностных свойств», которые, строго говоря, определяются тем, как обработана поверхность. Тонкий слой посторонней примеси на границе между двумя материалами с показателями n₁ и n₂ обычно изменяет отражение. (Имеются всяческие виды интерференции, примером которой могут служить разноцветные масляные пленки на воде. Подбором толщины можно свести амплитуду отражения данной частоты к нулю. Именно так и делаются просветленные линзы.) Формулы, которые мы получим, будут верны, только когда показатель преломления резко изменится на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны. Длина волны света, например, составляет около 5000 Å, так что под «гладкой» поверхностью мы понимаем поверхность, на которой условия изменяются всего на протяжении нескольких атомов (или на расстоянии нескольких ангстрем). Так что для света наши формулы будут работать только на хорошо отполированной поверхности. Вообще же если показатель преломления постепенно меняется на расстоянии нескольких длин волн, то отражение будет незначительным.

§ 2. Волны в плотных материалах

Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, например, Е) может быть записана в форме

(33.6)

где Е — амплитуда поля в точке r (относительно начала координат) в момент t. Вектор k указывает направление распространения волны, а его величина |k|=k=2πλ равна волновому числу. Фазовая скорость волны v_фаз=ω/k для света в материале с показателем n будет равна c/n, поэтому

(33.7)

Предположим, что вектор k направлен по оси z; тогда k·r будет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора k в любом другом направлении z следует заменить на r_k — расстояние от начала в направлении вектора k, т. е. kz мы должны заменить на kr_k, что как раз равно k·r (фиг. 33.2).

Фиг. 33.2. Фаза волны в точке Р, распространяющейся в направлении k, равна (ωt-k·r).

Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

где k_x, k_y и k_z — компоненты вектора k по трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (ω, k_x, k_y, k_z) образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (t, x, у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального поля Е, подобного выражению (33.6), производная ∂E/∂t — это то же самое, что и iωE, а ∂Е/∂х — то же, что и ik_xE, и аналогично для остальных компонент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция ∇=(∂/∂x), (∂/∂у), (∂/∂z) заменяется тремя умножениями (-ik_x,-ik_y,-ik_z). Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор ∇ заменяется умножением на -ik:

(33.8)

Правило остается справедливым для операции ∇ в любой комбинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента ∇×Е равна

Если и Е_у и Е_х изменяются как e^-ik·r, то мы получаем

что представляет, как вы видите, z-компоненту -ik×Е.

Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор ∇ эквивалентен умножению на -ik.

Например, уравнение Фарадея

превращается для волны в

Оно говорит, что

(33.9)

Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пустом пространстве, т. е. что вектор В в волне направлен под прямым углом к вектору Е и направлению распространения волны. (В пустом пространстве ω/k=с.) Знак в уравнении (33.9) вы можете проверить, исходя из того, что k является направлением вектора Пойнтинга S=ε₀c²(E×В).

Если вы примените то же самое правило к другим уравнениям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности

(33.10)