Том 2. Электромагнетизм и материя

Как, например, в задаче о тепловом потоке через поверхность определить температуру на обеих прилежащих к ней сторонах? Конечно, вы вправе утверждать, что тепло, притекающее к границе с одной стороны, должно быть равно теплу, утекающему от нее с другой. Обычно это возможно и, вообще говоря, очень полезно находить граничные условия из такого рода физических рассуждений. Однако могут встретиться случаи, когда при работе над какой-то проблемой вам известны лишь уравнения и вы не можете непосредственно увидеть, какие же физические аргументы можно использовать. Так что, хотя в данный момент мы заинтересованы только в электромагнитных явлениях, где можно привести физические аргументы, я хочу научить вас методу, который можно применить в любой задаче: общему методу нахождения непосредственно из дифференциальных уравнений того, что происходит на границе.

Начнем с выписывания всех уравнений Максвелла для диэлектрика, но на этот раз скрупулезно выписывая все компоненты:

(33.21)

(33.22)

(33.23)

(33.24)

Эти уравнения должны быть справедливы как в области 1 (слева от границы), так и в области 2 (справа от нее). Мы уже выписывали решения в областях 1 и 2. Они должны удовлетворяться и на самой границе, которую мы можем назвать областью 3. Хотя обычно мы считаем границу чем-то абсолютно резким, на самом деле таких границ не бывает. Физические свойства, правда, изменяются очень быстро, но все же не бесконечно быстро. Во всяком случае, мы можем считать, что между областями 1 и 2 изменение показателя преломления хотя и очень быстрое, но непрерывное. Это небольшое расстояние, на котором оно происходит, мы можем назвать областью 3. Подобный же переход в области 3 будут претерпевать и другие характеристики поля, такие, как Р_х или Е_y и т. п. Однако дифференциальные уравнения должны удовлетворяться; именно следуя за дифференциальными уравнениями в этой области, мы придем к необходимым «граничным условиям».

Предположим, например, что у нас есть граница между вакуумом (область 1) и стеклом (область 2). В вакууме нечему поляризоваться, так что P₁=0. А поляризация в стекле пусть равна Р₂. Между вакуумом и стеклом существует гладкий, но быстрый переход. Если мы проследим за какой-то компонентой Р, скажем Р_х, то она может изменяться так, как это показано на фиг. 33.5, а.

Фиг. 33.5. Поля в переходной области 3 между двумя различными материалами в областях 1 и 2.

Предположим теперь, что мы взяли первое из наших уравнений — уравнение (33.21). В него входит производная от компонент Р по переменным х, у и z. Производные по у и z не очень интересны — в этих направлениях не происходит ничего замечательного. Но производная от Р_х по х в области 3 из-за быстрого изменения Р_х будет громадна. Производная ∂Р_х/∂х, как показано на фиг. 33.5,б, имеет на границе очень резкий пик. Если вы представите, что граница сжимается до еще более тонкой области, пик вырастет еще больше. Если для интересующих нас волн граница действительно резкая, то величина ∂P/∂x в области 3 будет больше, много больше любого вклада, который может получиться из-за изменения Р в стороне от границы, так что мы пренебрегаем любыми другими изменениями, за исключением происходящих на границе.

Но как теперь можно удовлетворить уравнению (33.21), если с правой стороны у нас возвышается огромный пик? Только если существует равный ему громадный пик с другой стороны. Что-то и с левой стороны должно быть большим. Единственная возможность — это ∂Е_х/∂х, поскольку изменения в направлениях у и z в тех волнах, о которых мы только что упомянули, дают лишь малый эффект. Таким образом, -ε₀(∂Е_х/∂х) должно быть, как это показано на фиг. 33.5,в, точной копией ∂P/∂x. Получается

Если это уравнение проинтегрировать по х по всей области 3, то мы придем к заключению, что

(33.25)

Другими словами, скачок ε₀Е_х при переходе от области 1 к области 2 должен быть равен скачку —Р_х.

Уравнение (33.25) можно переписать в виде

(33.26)

оно гласит, что величина (ε₀E_x+Р_x) имеет равные значения как в области 2, так и в области 1. В таких случаях люди говорят, что величина (ε₀Е_x+Р_х) непрерывна на границе. Таким образом, мы получили одно из наших граничных условий.