Том 2. Электромагнетизм и материя

Хотя в качестве иллюстрации мы взяли случай, когда значение Р₁ равно нулю, ибо в области 1 у нас был вакуум, ясно, что те же аргументы приложимы для любого материала в этих двух областях, так что уравнение (33.26) верно в общем случае. Давайте перейдем к остальным уравнениям Максвелла и посмотрим, что скажет нам каждое из них. Следующим мы возьмем уравнение (33.22,а). У него нет производной по х, так что оно ничего нам не говорит. (Вспомните, что на границе сами поля не особенно велики. Только их производные по х могут стать столь огромными, что будут доминировать в уравнении.) Взглянем теперь на уравнение (33.22,б). Смотрите! Именно здесь у нас есть производная по х! С левой стороны имеется ∂E_z/∂x. Предположим, что эта производная громадна. Но минуточку терпения! С правой стороны нет ничего, способного потягаться с ней, поэтому Е_z не может иметь скачка при переходе из области 1 к области 2. [Если бы это было так, то с левой стороны уравнения (33.22,а) мы бы получили скачок, а с правой — его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие:

(33.27)

После тех же самых рассуждений уравнение (33.22,в) дает

(33.28)

Последний результат в точности совпадает с полученным с помощью контурного интеграла условием (33.20).

Перейдем к уравнению (33.23). Единственное, что может дать пик, — это ∂В_х/∂х. Но справа опять нет ничего, способного противостоять ему; в результате мы заключаем, что

(33.29)

И, наконец, последнее из уравнений Максвелла! Уравнение (33.24а) ничего не дает, ибо там нет производных по х. В уравнении (33.236) — одна производная: — с²(∂В_z/∂х), но ей снова нечего противопоставить с другой стороны равенства, поэтому мы получаем

(33.30)

Совершенно аналогично второе уравнение, которое дает

(33.31)

Итак, последние три условия говорят нам, что В₂=В₁.

Хочу здесь подчеркнуть, что такой результат получен только потому, что по обеим сторонам границы мы взяли немагнитный материал, вернее, потому, что магнитным эффектом этих материалов мы можем пренебречь. Обычно это вполне допустимо для большинства материалов, за исключением ферромагнетиков. (Магнитные свойства материалов мы будем рассматривать в последующих главах.).

Наша программа привела нас к шести соотношениям между полями в областях 1 и 2. Все они выписаны в табл. 33.1. Их можно использовать для согласования волн в двух областях.

Таблица 33.1. граничные условия на поверхности ДИЭЛЕКТРИКА

Однако я хочу отметить, что идея, которую мы только что использовали, будет работать в любой физической ситуации, где у вас есть дифференциальные уравнения и требуется найти решение в области, пересекаемой резкой границей, по обе стороны которой некоторые из физических свойств различны. Для наших теперешних целей было бы легче получить те же самые уравнения с помощью рассуждений о потоках и циркуляциях на границе. (Проверьте, можно ли подобным путем получить те же самые результаты.) Однако теперь вы знаете метод, который будет хорош, даже когда вы попали в затруднительное положение и не видите простых физических соображений относительно того, что происходит на границе. Вы можете просто воспользоваться дифференциальными уравнениями.

§ 4. Отраженная и преломленная волны

Теперь мы готовы применить наши граничные условия к волнам, перечисленным в § 2, где мы получили:

(33.32)

(33.33)

(33.34)

(33.35)

(33.36)

(33.37)

Нами получены еще кое-какие сведения: вектор Е перпендикулярен для каждой волны вектору распространения k.

Полученный результат будет зависеть от направления вектора Е («поляризации») в падающей волне. Анализ сильно упростится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскости падения» (т. е. плоскости ху), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна с любой другой поляризацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для различных поляризаций будут разными и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их.

Я подробно проанализирую случай падающей волны, перпендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рассматривая простейший пример, однако в обоих случаях принцип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е_i имеет только z-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном и том же направлении, векторный значок можно опустить.

Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колебания зарядов в материале будут происходить в направлении оси z и у полей Е в преломленной и отраженной волнах тоже будет только одна z-компонента. Таким образом, для всех волн Е_х и Е_y, Р_х и Р_y равны нулю. Направления векторов Е и В в этих волнах показаны на фиг. 33.6.

Фиг. 33.6. Поляризации отраженной и преломленной волн, когда поле Е в падающей волне перпендикулярно к плоскости падения.