Том 2. Электромагнетизм и материя

Каждый атомный ток течет по кругу, образуя крохотную цепь, причем все циркулирующие токи текут в одном и том же направлении. Каким же тогда будет эффективный ток? В большей части стержня он, конечно, не дает вообще никакого эффекта, ибо рядом с каждым током есть другой ток, текущий в противоположном направлении. Если представить себе небольшую поверхность, показанную на фиг. 36.2 линией АВ, которая, однако, чуть-чуть толще отдельного атома, то полный ток через такую поверхность должен быть равен нулю. Внутри материала никакого тока нет. Однако обратите внимание, что на поверхности материала атомные токи не компенсируются соседними токами, текущими в другом направлении. Поэтому по поверхности все время в одном направлении вокруг стержня течет ток. Теперь вам понятно, почему я утверждал, что равномерно намагниченный стержень эквивалентен соленоиду с текущим по нему электрическим током.

Как же эта точка зрения согласуется с выражением (36.7)? Прежде всего намагниченность М внутри материала постоянна, так что все ее производные равны нулю. Это согласуется с нашей геометрической картиной. Однако М на поверхности на самом деле не постоянна, она постоянна вплоть до поверхности, а затем неожиданно падает до нуля. Таким образом, непосредственно на поверхности возникает громадный градиент, который в соответствии с выражением (36.7) даст огромную плотность тока. Предположим, что мы наблюдаем за тем, что происходит вблизи точки С на фиг. 36.2. Если выбрать направления осей х и у так, как это показано на фигуре, то намагниченность М будет направлена по оси z. Выписывая компоненты уравнения (36.7), мы получаем

(36.8)

Хотя производная dM_z/dy в точке С равна нулю, производная dM_z/dx будет большой и положительной. Выражение (36.7) говорит, что в отрицательном направлении оси у течет ток огромной плотности. Это согласуется с нашим представлением о поверхностном токе, текущем вокруг цилиндра.

Теперь мы можем найти плотность тока в более сложном случае, когда намагниченность в материале меняется от точки к точке. Качественно нетрудно понять, что если в двух соседних областях намагниченность различная, то полной компенсации циркулирующих токов не происходит, поэтому полный ток внутри материала не равен нулю. Именно этот эффект мы и хотим получить количественно.

Прежде всего вспомните, что в гл. 14, § 5 (вып. 5), мы выяснили, что циркулирующий ток I создает магнитный момент

(36.9)

где А— площадь, ограниченная контуром тока (фиг. 36.3).

Фиг. 36.3. Дипольный момент μ контура тока равен IA.

Рассмотрим маленький прямоугольный кубик внутри намагниченного материала (фиг. 36.4).

Фиг. 36.4. Небольшой намагниченный кубик эквивалентен циркулирующему поверхностному току.

Пусть кубик будет так мал, что намагниченность внутри него можно считать однородной. Если компонента намагниченности этого кубика в направлении оси z равна М_z, то полный эффект будет таким, как будто по вертикальным граням течет поверхностный ток. Величину этого тока мы можем найти из равенства (36.9). Полный магнитный момент кубика равен произведению намагниченности на объем:

откуда, вспоминая, что площадь равна ас, получаем

Другими словами, на каждой из вертикальных поверхностей величина тока на единицу длины по вертикали равна М_z.

Представьте теперь два таких маленьких кубика, расположенных рядом друг с другом (фиг. 36.5).

Фиг. 36.5. Если намагниченность двух соседних кубиков различна, то на их границе течет поверхностный ток.

Кубик 2 несколько смещен по отношению к кубику 1, поэтому его вертикальная компонента намагниченности будет немного другой, скажем M_z+ΔМ_z. Теперь полный ток на поверхности между этими двумя кубиками будет слагаться из двух частей. По кубику 1 в положительном направлении по оси у течет ток I₁, а по кубику 2 в отрицательном направлении течет ток I₂. Полный поверхностный ток в положительном направлении оси у будет равен сумме

Величину ΔМ_z можно записать в виде произведения производной от M_z по х на смещение кубика 2 относительно кубика 1, которое как раз равно а:

Тогда ток, текущий между двумя кубиками, будет равен

Чтобы связать ток I со средней объемной плотностью тока j, необходимо понять, что этот ток на самом деле размазан по некоторой области поперечного сечения. Если мы вообразим, что такими маленькими кубиками заполнен весь объем материала, то за такое сечение (перпендикулярное оси х) может быть выбрана боковая грань одного из кубиков[48]. Теперь вы видите, что площадь, связанная с током, как раз равна площади ab одной из фронтальных граней. В результате получаем

Наконец-то у нас начинает получаться ротор М.