Том 2. Электромагнетизм и материя

Предположим, что мы на мгновение представили себе электрическое поле в виде потока чего-то сохраняющегося и текущего повсюду, за исключением того места, где расположен сам заряд (должен же этот поток откуда-то начинаться!). Представим что-то (что именно — неважно), вытекающее из заряда в окружающее пространство. Если бы Е было вектором такого потока (как h — вектор теплового потока), то вблизи от точечного источника оно обладало бы зависимостью 1/r². Теперь мы желаем использовать эту модель для того, чтобы глубже сформулировать закон обратных квадратов, а не просто говорить об «обратных квадратах». (Вам может показаться удивительным, почему вместо того, чтобы сходу, прямо и открыто сформулировать столь простой закон, мы хотим трусливо протащить то же самое, но с заднего хода. Немного терпения! Это окажется небесполезным.)

Спросим себя: чему равно «вытекание» Е из произвольной замкнутой поверхности в окрестности точечного заряда? Для начала возьмем простенькую поверхность — такую, как показано на фиг. 4.5.

Фиг. 4.5. Поток E из поверхности S равен нулю.

Если поле Е похоже на поток, то суммарное вытекание из этого ящика должно быть равно нулю. Это и получается, если под «вытеканием» из этой поверхности мы понимаем поверхностный интеграл от нормальной составляющей Е, т. е. поток Е в том смысле, который был установлен в гл. 3. На боковых гранях нормальная составляющая Е равна нулю. На сферических гранях нормальная составляющая Е равна самой величине Е, с минусом на меньшей грани и с плюсом на большей. Величина Е убывает как 1/r², а площадь грани растет как r², так что их произведение от r не зависит. Приток Е через грань а в точности гасится оттоком через грань b. Суммарный поток через S равен нулю, а это все равно, что сказать, что

(4.30)

на этой поверхности.

Теперь покажем, что две «торцевые» поверхности могут быть без ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены относительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг. 4.6 показана поверхность S, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены.

Фиг. 4.6. Поток Е из поверхности S равен нулю.

На рисунке они не малы, но надо представить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол θ, то его площадь возрастает в 1/cosθ раз, а Е_n — компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в cosθ раз, так что произведение Е_nΔа не меняется. Поток из всей поверхности S по-прежнему равен нулю.

Теперь уже легко разглядеть, что и поток из объема, окруженного произвольной поверхностью S, обязан быть равным нулю. Ведь любой объем можно представить себе составленным из таких частей, как на фиг. 4.6. Вся поверхность разделится на пары торцевых участков, а поскольку потоки через каждую из них внутрь и наружу объема попарно уничтожаются, то и суммарный поток через поверхность обратится в нуль. Идея эта иллюстрируется фиг. 4.7.

Фиг. 4.7. Всякий объем можно представлять себе состоящим из бесконечно малых усеченных конусов. Поток E сквозь один конец каждого конического сегмента равен и противоположен потоку сквозь другой конец. Общий поток из поверхности S поэтому равен пулю.

Мы получаем совершенно общий результат: суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю.

Будьте, однако, внимательны! Наше доказательство работает только тогда, когда поверхность S не окружает заряд. А что случилось бы, если бы точечный заряд оказался внутри поверхности? Как и раньше, поверхность можно было бы разделить на пары площадок, связанные радиальными прямыми, проходящими через заряд (фиг. 4.8).

Фиг. 4.8. Если заряд находится внутри поверхности, поток наружу не равен нулю.

Потоки через эти участки по той же причине, что и раньше, по-прежнему попарно равны, но только теперь их знаки одинаковы. Поток из поверхности, окружающей заряд, не равен нулю. Тогда чему же он равен? Это можно определить с помощью фокуса. Допустим, что мы «убрали» заряд «изнутри», окружив его маленькой поверхностью S' так, чтобы она лежала целиком внутри первоначальной поверхности 5 (фиг. 4.9).

Фиг. 4.9. Поток через S равен потоку через S'.