Том 2. Электромагнетизм и материя

Фиг. 4.1. В точке (1) электрическое поле Е от некоторого распределения зарядов получается из интеграла по распределению. Точка (I) может находится также внутри распределения.

Интеграл для Е тогда запишется в виде

(4.17)

Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подробнее. Для x-компоненты уравнений (4.16) или (4.17) получается

(4.18)

Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что мы полностью решили те электростатические задачи, в которых известно расположение всех зарядов.

Дано: Заряды.

Определить: Поля.

Решение: Возьми этот интеграл.

Так что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Эта работа в самый раз для счетной машины!

Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле заряженной плоскости, заряженной линии, заряженной сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чертить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять дивергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интеграл, придумав фокус, чем проделывать все выкладки честно. Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищрениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы непосредственно, а не тратить силы на остроумные способы решения да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля.

§ 3. Электрический потенциал

Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связанное с работой переноса заряда из одной точки в другую. Пусть имеется какое-то распределение зарядов. Оно создает электрическое поле. Спрашивается, какую работу надо затратить, чтобы перенести небольшой заряд из одной точки в другую? Работа, произведенная против действия электрических сил при переносе заряда по некоторому пути, равна минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрированной по этому пути. Если заряд переносится от точки а к точке b, то

где F — электрическая сила, действующая на заряд в каждой точке, а ds — дифференциал вектора перемещения вдоль траектории (фиг. 4.2).

Фиг. 4.2. Работа переноса заряда от а к b равна минус интегралу от F·ds по выбранному пути.

Для наших целей интереснее рассмотреть работу переноса единицы заряда. Тогда сила, действующая на такой заряд, численно совпадает с электрическим полем. Обозначая в этом случае работу против действия электрических сил буквой W_един, напишем

(4.19)

Вообще говоря, то, что получается при интегрированиях такого сорта, зависит от выбранного пути интегрирования. Но если бы интеграл в (4.19) зависел от пути, мы бы могли извлечь из поля работу, поднеся заряд к b по одному пути и унеся обратно к а по другому. Можно было бы подойти к b по тому пути, где W меньше, а удалиться по тому пути, где оно больше, получив работы больше, чем было вложено.

В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы получать работу из поля. Мы еще познакомимся с полями, в которых это возможно. Может оказаться, что, двигая заряды, вы действуете на остальную часть всего «механизма» с какой-то силой. Если «механизм» сам движется против этой силы, он будет терять энергию, и полная энергия будет тем самым оставаться постоянной. В электростатике, однако, никакого «механизма» нет. Мы знаем, каковы те силы отдачи, которые действуют на источники поля. Это кулоновские силы, действующие на заряды, ответственные за создание поля. Если положения всех прочих зарядов зафиксированы (а это допущение делается в одной только электростатике), то силы отдачи на них не смогут действовать. И тогда нет способа извлечь из них энергию, разумеется, при условии, что принцип сохранения энергии в электростатике справедлив. Мы, конечно, верим, что это так, однако попробуем все же показать, как это следует из закона силы Кулона.

Посмотрим сначала, что происходит в поле, созданном единичным зарядом q. Пусть точка а удалена от q на расстояние r₁, а точка b — на расстояние r₂. Перенесем теперь другой заряд, называемый «пробным» и равный единице, от а до b. Изберем сперва самый легкий для расчета путь. Перенесем наш пробный заряд сначала по дуге круга, а после по радиусу (фиг. 4.3, а).

Фиг. 4.3. При переносе пробного заряда от а к b по любому пути тратится одна и та же работа.