Том 2. Электромагнетизм и материя

Тот же результат был выведен с помощью векторной алгебры в гл. 2, § 7. Теперь мы начинаем понимать, как все здесь прилажено одно к другому.

§ 8. Итоги

Подытожим теперь все, что мы узнали о векторном исчислении. Вот самые существенные моменты гл. 2 и 3.

1. Операторы ∂/∂x, ∂/∂y и ∂/∂z можно рассматривать как три составляющих векторного оператора ∇; формулы, следующие из векторной алгебры, остаются правильными, если этот оператор считать вектором

2. Разность значений скалярного поля в двух точках равна криволинейному интегралу от касательной составляющей градиента этого скаляра вдоль любой кривой, соединяющей первую точку со второй:

(3.42)

3. Поверхностный интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности равен интегралу от дивергенции вектора по объему, лежащему внутри этой поверхности:

(3.43)

4. Криволинейный интеграл от касательной составляющей произвольного вектора по замкнутому контуру равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей ротора этого вектора по произвольной поверхности, ограниченной этим контуром

(3.44)

От редактора.

Начиная изучать уравнения Максвелла, обратите внимание, что в этих лекциях используется рационализированная система единиц, в которой уравнения Максвелла не содержат коэффициентов.

Более привычно вместо ε₀ писать ε₀/4π; тогда коэффициент 4π исчезает из знаменателя закона Кулона (4.9), но появляется в правых частях уравнений (4.1) и (4.3). [Улучшение системы единиц всегда похоже на Тришкин кафтан.]

Кроме того, вместо квадрата скорости света вводят новую постоянную μ₀=ε₀/c², называют ее (довольно неудачно) магнитной проницаемостью пустоты (так же, как ε₀ называют диэлектрической проницаемостью пустоты) и обозначают ε₀E=D, B=μ₀H.

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве!

Глава 4 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Повторишь:гл.13и14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Статика

Начнем теперь подробное изучение теории электромагнетизма. Она вся (весь электромагнетизм целиком) запрятана в уравнениях Максвелла:

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде чем перейти к более сложным, мы начнем со сравнительно простых и сначала научимся обращаться с ними. Самым легким для изучения является случай, который называют статическим. Это случай, когда от времени ничего не зависит, когда все заряды либо намертво закреплены на своих местах, либо если уж движутся, то их ток постоянен (т. е. ρ и j постоянны во времени). В этих условиях в уравнениях Максвелла все члены, являющиеся производными по времени, обращаются в нуль, и уравнения приобретают следующий вид:

Электростатика

(4.5)

(4.6)

Магнитостатика

(4.7)

(4.8)

Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части. Электрическое поле Е появляется только в первой паре уравнений, а магнитное поле В — только во второй. Между собой эти два поля совсем не связаны. Это означает, что коль скоро заряды и токи постоянны, то электричество и магнетизм — явления разные. Нельзя обнаружить никакой зависимости полей Е и В друг от друга, пока не возникают изменения в зарядах или токах, скажем, пока конденсатор не начнет заряжаться или магнит двигаться. Только когда возникают сравнительно быстрые изменения, так что временные производные в уравнениях Максвелла достигают заметной величины, Е и В начинают влиять друг на друга.

Если вы всмотритесь в уравнения статики, то обнаружите, что для изучения математических свойств векторных полей эти два предмета — электростатика и магнитостатика — являются идеальным объектом. Электростатика — это чистый пример векторного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией, а магнитостатика — чистейший пример поля с нулевой дивергенцией и заданным ротором. Более общепринятый (и, быть может, с чьей-то точки зрения более удовлетворительный) путь изложения теории электромагнетизма состоит в том, чтобы начать с электростатики и выучить тем самым все про дивергенцию. Магнитостатику и ротор оставляют на потом. И лишь в конце объединяют и электричество, и магнетизм. Мы же с вами начали с полной теории векторного исчисления. Применим теперь ее к частному случаю электростатики, к полю Е, задаваемому первой парой уравнений.