Том 2. Электромагнетизм и материя

Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу возникнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что температура материала пропорциональна содержанию тепла в единице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать

или

(3.27)

Скорость изменения количества тепла пропорциональна скорости изменения температуры. Коэффициент пропорциональности c_v здесь — удельная теплоемкость на единицу объема материала. Подставляя (3.27) в (3.26), получаем

(3.28)

Мы обнаружили, что быстрота изменения со временем температуры Т в каждой точке пропорциональна лапласиану от Т, т. е. вторым производным от пространственного распределения температур. Мы имеем дифференциальное уравнение — в переменных х, у, z и t — для температуры Т.

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

(3.29)

где D — постоянная. Она равна ϰ/c_v.

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающее диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

§ 5. Циркуляция векторного поля

Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхности? Этот результат вовсе не был очевиден. И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характеристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С — произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру. Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньше в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от ∇ψ. Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С.

Пусть Γ — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7.

Фиг. 3.7. Циркуляция вектора С но кривой Γ есть криволинейный интеграл от С_t(касательной составляющей С).

Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде

(3.30)

Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кружочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Γ. Название связано с тем, что первоначально так рассчитывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и поток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.

Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем показать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Γ₁ и Γ₂ (фиг. 3.8).

Фиг. 3.8. Циркуляция по всему контуру есть сумма циркуляции по двум контурам: Γ₁=Γ_a+Γ_abи Γ₂=Γ_ь+Γ_aЬ.

Контур Γ₁ состоит из Γ_a — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Γ_ab. Контур Γ₂ состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.

Циркуляция вдоль Γ₁ есть сумма интеграла вдоль Γ_а и вдоль Γ_аЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Γ₂ есть сумма двух частей, одной вдоль Γ_b, другой — вдоль Г_ab. Интеграл вдоль Г_ab для кривой Γ₂ имеет знак, противоположный тому знаку, который он имел для кривой Γ₁, потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направления поворота нужно брать одни и те же).

Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Γ. Интегралы по Γ _ab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс разрезания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к циркуляции вдоль единственного первоначального контура.