Том 2. Электромагнетизм и материя

Начнем с самых простых задач, в которых положения всех зарядов фиксированы. Если бы нам нужно было изучить электростатику только на этом уровне (а этим мы и будем заниматься в ближайших двух главах), то жизнь наша была бы очень проста. Все было бы почти тривиальным и нам понадобился бы, как вы в этом сейчас убедитесь, только закон Кулона да несколько интегрирований. Однако во многих реальных электростатических задачах мы вначале не знаем, где находятся заряды. Мы знаем только, что они в зависимости от свойств вещества распределились как-то и где-то. Положение, которое примут заряды, зависит от поля Е, а оно в свою очередь зависит от расположения зарядов. И тогда все сразу усложняется. Если, например, заряженное тело поднесено к проводнику или к изолятору, то электроны и протоны в проводнике или изоляторе начнут перетекать на новое место. Одна часть плотности заряда ρ в уравнении (4.5) будет нам известна — это тот заряд, который мы подносим; но в ρ войдут и другие части от тех зарядов, которые перетекают. Мы обязаны будем учесть движение всех зарядов. Возникнут довольно тонкие и интересные задачи.

Однако настоящая глава, хоть она и посвящена электростатике, не будет касаться самых красивых и тонких вопросов этой науки. В ней будут рассмотрены лишь такие ситуации, в которых можно предположить, что расположение всех зарядов известно. Но и в этом случае, прежде чем научиться справляться со сложными случаями, естественно сначала освоиться с простыми.

§ 2. Закон Кулона; наложение сил

Логично было бы принять за отправную точку уравнения (4.5) и (4.6). Но легче начать с другого, а потом вернуться к этим уравнениям. Результат получится одинаковый. Мы начнем с закона, о котором говорилось раньше,— с закона Кулона, утверждающего, что между двумя покоящимися зарядами действует сила, прямо пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Сила направлена по прямой от одного заряда к другому.

Закон Кулона

(4.9)

здесь F₁ — сила, действующая на заряд q₁; е₁₂ — единичный вектор, направленный от q₂ к q₁, а r₁₂— расстояние между q₁ и q₂. Сила F₂, действующая на q₂, равна и противоположна силе F₁. Множитель пропорциональности по историческим причинам пишется в виде ¹/₄πе₀. В системе единиц СИ, которой мы пользуемся, он определяется как 10^-7 от квадрата скорости света. Так как скорость света примерно 3·10⁸ м/сек, то множитель приблизительно равен 9·10⁹, и единица оказывается равной ньютон·м²/кулон², или вольт·м/кулон

(4.10)

Если зарядов больше двух (а именно такие случаи наиболее интересны), то закон Кулона нужно дополнить другим существующим в природе фактом: сила, действующая на заряд, есть векторная сумма кулоновских сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Этот экспериментальный факт называется «принципом наложения», или «принципом суперпозиции». Это и есть все, что имеется в электростатике. Если добавить к закону Кулона принцип наложения, то больше ничего в ней не останется. Точно к таким же выводам, ни больше, ни меньше, приведут уравнения электростатики, уравнения (4.5) и (4.6).

Применяя закон Кулона, удобно ввести понятие об электрическом поле. Мы говорим, что поле F(1) — это сила, действующая со стороны прочих зарядов на единицу заряда q₁. Деля (4.9) на q₁, мы получаем для действия всех зарядов, кроме q₁

(4.11)

Кроме того, мы считаем, что Е(1) описывает нечто, существующее в точке (1), даже если в ней нет заряда q₁ (в предположении, что все прочие заряды сохранили свои позиции). Мы говорим: Е(1) — это электрическое поле в точке (1).

Электрическое поле Е — это вектор, так что в (4.11) на самом деле написаны три уравнения, по одному для каждой компоненты. Расписывая x-компоненту в явном виде, получаем

(4.12)

и точно так же для остальных компонент.

Если зарядов много, то поле Е в любой точке (1) равно сумме вкладов от всех зарядов. Каждый член в сумме будет выглядеть как (4.11) или (4.12). Пусть q_j — величина j-го заряда, а r_1j — смещение q_j от точки (1); тогда мы напишем

(4.13)

что означает, конечно,

(4.14)

и т. д.

Часто бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды всегда существуют в виде отдельных кусочков, таких, как электроны или протоны, а считать, что они размазаны сплошным пятном, или, как говорят, описываются «распределением». До тех пор пока нам все равно, что происходит в малых масштабах, такое описание вполне законно. Распределение заряда описывается «плотностью заряда» ρ (х, у, z). Если количество заряда в небольшом объеме ΔV₂ близ точки (2) есть Δq₂, то ρ определяется равенством

(4.15)

Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном распределении заряда, мы заменяем в уравнениях (4.13) или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды. Получается

(4.16)

Некоторые предпочитают писать

где r₁₂ — вектор смещения от (2) к (1) (фиг. 4.1).