Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Попытавшись вывести из логики всю математику, Бертран столкнулся с противоречием, которым на первый взгляд казалась одна из задачек вида «Может ли мужчина жениться на сестре своей вдовы?». Чтобы увидеть, в чем заключается подвох, достаточно проанализировать значение каждого понятия. Однако разрешение противоречия, которое волновало Рассела, требовало гораздо больших усилий: два лета подряд он день за днем глядел на чистый лист бумаги, утро сменялось полуднем, наступал вечер, а лист по-прежнему был чистым, и в конце концов он пришел к мысли о том, что не существует множества всех множеств, которые не содержат сами себя.

Теория множеств

Чтобы понять, в чем заключается парадокс, который положил конец счастливой и спокойной жизни Бертрана Рассела, сначала в нескольких словах опишем основы теории множеств. В предыдущей главе мы хотели показать, что основы аксиоматического метода можно встретить уже в «Началах», однако для Евклида аксиомы были очевидными истинами, а не исходными утверждениями, выбранными из соображений удобства. Со временем языка Евклида оказалось недостаточно для изложения новых математических идей. Доказать сложные теоремы XIX века исключительно с помощью слов и фигур было так же сложно, как сегодня перевести на один из мертвых языков инструкцию для iPhone.

Постепенно математическая нотация становилась все более символической: была введена форма, пригодная не только для записи рядов, производных и интегралов, — благодаря работам английского математика Джорджа Буля (1815–1864) стало возможным записывать в виде уравнений логические высказывания. Геометрия изучает фигуры в пространстве, арифметика — числа, математический анализ — средства, необходимые для формализации физических законов, алгебра — уравнения. Можно ли найти язык, общий для всех этих дисциплин, который сделал бы очевидным их единство?

* * *

БУЛЕВА АЛГЕБРА

Джордж Буль был первым, кто провел аналогию между логическими связками «и» и «или» и операциями умножения и сложения в алгебре. Он также ввел обозначения 0 («ложь») и 1 («истина») для двух значений логических переменных. Перед тем как рассмотреть пример, напомним, что при умножении чисел результат равняется нулю только тогда, когда одно из этих чисел равно нулю.

Допустим, что мы хотим перевести на язык алгебры высказывание «Все люди смертны».

Буль предложил обозначить через р значение истинности высказывания «быть человеком», за q — значение высказывания «быть смертным». Этот хитроумный прием позволяет свести содержание фразы к уравнению р·(1 — q) = 0.

Так, если некто является человеком, то р принимает значение истинности 1 («истина»).

Уравнение гласит, что произведение чисел р и (1 — q) равно нулю. Так как р отлично от нуля, то 1 — q должно равняться нулю. Однако это означает, что q равно 1 («истина»), то есть что человек смертен.

Джордж Буль, один из прародителей вычислительной алгебры.

* * *

Размышляя о проблеме, которая изначально не имела ничего общего с этим скорее философским, нежели математическим вопросом, Георг Кантор в период с 1878 по 1884 год считал, что нашел ответ в теории множеств. На интуитивном уровне множество определяется как совокупность объектов: мы говорим о множестве животных, множестве парков Парижа или множестве читателей этой книги.

Эти совокупности можно определить, перечислив все входящие в них элементы либо указав нечто общее для этих элементов. Так, множество натуральных чисел (напомним, что натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете) — это не что иное, как множество  = {0, 1, 2, 3 …}. Если бы мы хотели рассмотреть только четные числа, то записали бы 2 = {0, 2, 4, 6 …} или  n кратно 2}, где символ  обозначает «принадлежит», а вертикальная черта | — «такое, что». Мы указали не список элементов множества, а правило его определения, так как в этом случае мы рассматриваем подмножество натуральных чисел, обладающее свойством делимости на два.