Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Едва начав работу, Кантор осознал, что в его новой теории рассматривались одновременно два объекта совершенно разной природы: конечные и бесконечные множества. По сути задача о нахождении числа элементов множества (математики называют его кардинальным числом, или мощностью множества) имеет разные решения в зависимости от того, конечное или бесконечное множество мы рассматриваем. Представим очень простую ситуацию: допустим, мы хотим узнать, имеют ли два конечных множества одно и то же кардинальное число, например равно ли число букв в слове «нахальство» числу цветов радуги. Очевидный метод заключается в том, чтобы подсчитать элементы каждого множества и сравнить результаты: так как в слове Н-А-Х-А-Л-Ь-С-Т-В-О десять букв, а в радуге семь цветов (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый), то эти два множества содержат разное число элементов. Но что произойдет, если мы применим этот же метод к двум бесконечным множествам? В этом случае необходимо либо считать, что все бесконечные множества обладают одинаковым кардинальным числом и поставить на этом точку, либо использовать какой-то другой метод.

Вернемся к конечным множествам и посмотрим, что произойдет, если мы будем не рассматривать две совокупности по отдельности, а станем по очереди извлекать из них по одному элементу: начнем с буквы Н и красного цвета и т. д., пока не дойдем до буквы С, которой соответствует фиолетовый цвет. В этот момент одно из двух множеств уже «закончилось», а в другом осталось еще три элемента — буквы Т, В и О, следовательно, кардинальное число этого множества больше. Операция, которую мы попытались проделать, в математике называется установлением биекции между двумя множествами и означает присвоение каждому элементу множества X элемента другого множества Y «один к одному» так, что выполняются следующие условия.

1. Не существует двух элементов X таких, которым соответствует один и тот же элемент Y.

2. Каждому элементу Y соответствует какой-либо элемент множества X.

Таким образом, используя введенную нами терминологию, можно сказать, что кардинальные числа двух множеств равны, если между ними можно установить биекцию. Нетрудно показать, что установить биекцию между двумя конечными множествами с разным числом элементов нельзя, так как либо несколько элементов X будут поставлены в соответствие одному и тому же элементу Y, либо какой-то элемент Y останется без пары.

Три примера отображения конечных множеств, лишь одно из которых (см. рис. 3) является биекцией, так как на рис. 1 двум элементам первого множества сопоставлен один элемент второго, а на рис. 2 один из элементов исходного множества остался без пары.

Преимущество этого подхода в том, что его можно применить к бесконечным множествам. Таким образом, будем говорить, что кардинальные числа двух множеств равны, если между множествами можно установить биекцию. Первое следствие этого, возможно, удивит читателя: существует столько же четных чисел, сколько четных и нечетных, вместе взятых. Как такое возможно? Для доказательства этого весьма неочевидного утверждения достаточно определить биекцию между натуральными и четными числами. Сопоставим 0 и 0, 1 и 2, 2 и 4, а произвольному п сопоставим число, в два раза большее него. При таком отображении различным числам всегда будут соответствовать разные числа, и любое четное число будет сопоставлено с числом, в два раза меньшим его. Так как оба свойства биекции выполняются, это означает, что существует столько же четных чисел, сколько и натуральных!

Переформулируем этот результат: «В отеле с бесконечным количеством комнат всегда найдется место для новых постояльцев, даже если все номера заняты». В самом деле, в гостиницах с конечным количеством номеров, где нет свободных мест, вам в лучшем случае подскажут, где находится ближайший отель. Но в гостиницах с бесконечным количеством номеров этого не происходит: так как в них столько же комнат, сколько комнат с четными номерами, можно использовать составленную нами биекцию и переселить постояльца из первого номера во второй, из второго — в четвертый и т. д., таким образом все комнаты с нечетными номерами окажутся свободными. И мы можем найти комнату для бесконечного числа путешественников. Возможно, владельцам отелей стоит взять это на заметку.