Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

В главе 2 вы увидели, как возникает парадокс лжеца, лишивший покоя мудреца Эпименида: это происходит, когда критянин говорит, что все критяне — лжецы, или когда высказывание описывает само себя так: «это высказывание ложно». Далее мы показали, как Гёдель использовал самоотносимость для формулировки истинного, но недоказуемого высказывания, гласящего: «это высказывание недоказуемо». Теперь читатель наверняка догадается, как следует закончить рассуждения: мы определили машину Тьюринга С, которая останавливается или безостановочно продолжает работу в зависимости от того, как работает другая машина, Т(n). Но что произойдет, если на вход С подать саму машину С, то есть соответствующее ей число с?

Если машина Т(с) остановится, то С не остановится. Если, напротив, Т(с) войдет в бесконечный цикл, то С остановится. Но С и Т(с) — это одна и та же машина! Она не может одновременно вести себя по-разному! Предположив, что проблема остановки имеет решение для любых шип, мы пришли к противоречию: демон самоотносимости нашептывает нам «выбери с», но одна и та же машина будет одновременно вести себя по-разному.

Мечта Гильберта и Лейбница оказалась несбыточной. Самоотносимость сначала побудила Бертрана Рассела сформировать новые, более прочные основы математики, затем позволила Геделю доказать, что оптимизм ученых того времени был неоправданным, а теперь Тьюринг вновь использовал ее, чтобы справиться с проблемой разрешения — на этот раз самоотносимость стала свойством теоретических машин, которые позднее дали начало первым компьютерам.

Мы сказали, что логика описывает не рассуждения повседневной жизни, а способ, которым нужно рассуждать, чтобы гарантированно прийти к истинному результату. В самом деле, пока что мы рассматривали только формулы, в которых значения истинности 0 и 1 были лишены какого-либо значения. Мы всегда выбирали между белым и черным. В следующей главе мы попытаемся описать мир оттенками серого — более естественно, но менее четко.

Глава 6 Хорошо кончается то, что не кончается

Чтобы получить даже мельчайшую крупицу нового знания, требуется долгое и трудное самоотречение, пойти на которое готовы лишь немногие, чистые душой.

Маргерит Дюрас

Возможно, он знал, что делал, когда повел ее в ресторан, куда ходили только японцы. Возможно, он не сомневался в своем обаянии. Если ему не удастся поразить спутницу начитанностью и рассказами о своих путешествиях, он еще может спасти свидание, удивив ее одним из экзотических блюд. Когда официантка, не столь красивая, как того требует история, осведомилась о выборе десерта, все складывалось благополучно. Он немного знал японский, поэтому когда официантка спросила, как следует приготовить чайный трюфель: «со сливками, без сливок или как-то еще», мужчина, хоть и был несколько смущен, тем не менее решительно сказал: «Как-то еще». Вскоре официантка вернулась и, улыбаясь, подала тарелку трюфелей, на которой было налито совсем немного сливок, не касавшихся самого блюда. Мужчина и женщина посмотрели друг на друга и одновременно сказали: «Проклятые азиаты! Им неизвестен принцип непротиворечивости».

Нечеткая логика

Несмотря на внешние различия, все множества, которые мы рассмотрели до этого, обладали одним общим свойством: для любого элемента и любого множества на вопрос «Принадлежит ли этот элемент множеству?» можно было дать только один ответ: да или нет. Описание множества могло быть каким угодно сложным, но ответом на этот вопрос обязательно было бы «да» или «нет». Именно это произошло в примере с числами, десятичная запись которых содержит все возможные последовательности и о которых мы рассказали в предыдущей главе. Неизвестно, принадлежит π этому множеству или нет, но в любом случае на этот вопрос можно дать только один ответ. Предложения логики также подчиняются этой схеме: они либо истинны, либо ложны, и любая другая возможность исключается. Более того, два основных парадокса, которые мы рассмотрели (парадокс Рассела и парадокс лжеца), возникают именно тогда, когда даже с теоретической точки зрения невозможно ответить на вопрос «да» или «нет», невозможно определить, принадлежит некий элемент множеству или нет. Дело не в том, что закон исключенного третьего допускает исключения, а в том, что множество всех множеств, которые не являются элементами самого себя, и выражение «эта фраза ложна» формально некорректны, потому что отношение принадлежности справедливо только для объектов разных типов, а также потому, что понятие истинности принадлежит не языку, а метаязыку.

В некотором смысле теория множеств и логика находятся на вершине отвесной скалы: истинное расположено на самом краю, и достаточно легкого дуновения ветерка, чтобы отправиться в свободное падение по направлению к ложному. Однако большую часть земной поверхности занимают не отвесные скалы, а пологие склоны.