Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Нечеткие множества, имитирующие шкалу оттенков серого, описывающую реальность, помогают разрешить некоторые парадоксы, поскольку благодаря им мы можем рассматривать понятия в самом широком смысле. Представим, что в кафе нам подали очень горький кофе. Скорее всего, прежде чем выпить кофе, вы добавите в него немного сахара. Нет сомнений, что если мы добавим в чашку единственную крупинку сахара, вкус совершенно не изменится. Следовательно, действие «добавить крупинку сахара» не влияет на горечь кофе. Добавим еще одну крупинку сахара, затем еще и еще одну — всего десять ложек сахара. Если наше исходное предположение верно и ни на одном шаге вкус не изменился, значит кофе, в который добавлено десять ложек сахара, по вкусу ничем не будет отличаться от горького кофе, который нам подали в начале, — этот результат выглядит, по меньшей мере, подозрительно. Нетрудно понять, что ситуация не описывается классическими множествами, о которых мы говорили в предыдущей главе. Горький кофе, который невозможно пить, и слишком сладкий, приторный кофе разделяет не бездна, а пологий склон. Хотя мы не способны ощутить изменение вкуса кофе при добавлении в него всего одной крупинки сахара, степень принадлежности ко множеству «кофе, приятного на вкус» возрастет, сколь бы малым ни было изменение вкуса. Если мы добавим в кофе еще одну крупинку, степень принадлежности к этому множеству возрастет еще больше, и, наконец, когда мы добавим в кофе в общей сложности десять ложек сахара, его вкус станет невыносимо приторным.

При обобщении любого математического понятия (это и попытался совершить Заде, введя нечеткую логику) нужно обязательно убедиться в том, что новая теория корректна для всех исходных объектов. Классические множества являются частными случаями нечетких множеств: для них функция принадлежности из всего бесконечного множества значений принимает только два значения: 0 и 1. Тем не менее отношение включения множества в другое, а также операции объединения и пересечения, которые, как вы увидели в главе 3, являются основными в теории множеств, обобщить не так просто. На эти и другие вопросы Заде дал ответ в своей статье, опубликованной в 1965 году.

Обозначим как А и В два нечетких множества, соответствующие функции принадлежности к которым мы будем обозначать f_A и f_B. Это означает, что для данного элемента х число f_A (х), указывающее степень принадлежности х к множеству А, заключено в интервале от 0 до 1, и это же верно для f_B(х). Использовав эту нотацию, Заде установил, что А включено в В тогда, когда для любого элемента х число f_A (х) меньше или равно f_B(х).

Рассмотрим пример. Вместо того чтобы считать людей ниже 1,60 м низкими, выше 1,90 м — высокими, мы понизим границу множества и будем считать низкими людей ниже 1,50 м, далее степень принадлежности ко множеству будет постепенно возрастать, как и ранее, до значения 1,90 м. Таким образом мы получим еще одно нечеткое множество высоких людей. Степень принадлежности автора к этому множеству будет равна уже не 0,5, а 0,625. Согласно Заде, первое множество содержится во втором, и это соответствует интуитивному представлению о том, что высокие люди остаются таковыми, даже если снизить нижнюю границу множества.

Описав нечеткую логику, Лотфи Заде, изучавший электротехнику, предположил, что новую логику можно применить при обработке информации и распознавании образов — в двух областях, где нечеткость играет определяющую роль. История показала, что Заде недооценил свою идею, и наиболее широко созданная им логика применяется именно в той стране, жители которой едят чайные трюфели «со сливками, без сливок или как-то еще». В конце 90-х годов в японских магазинах начали продаваться копировальные аппараты и стиральные машины с нечеткой логикой, а в небоскребах Токио стали устанавливать лифты, нечеткая логика которых позволяла сводить время ожидания к минимуму. Как говорилось в рекламном ролике одной из этих стиральных машин, наступила нечеткая эра.

* * *