Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Повторим, ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Любая карта Земли или какой-нибудь ее части будет в некотором смысле неточной. Вывод Эйлера подтверждают следующие эксперименты. Возьмем пластиковый шар и разрежем его пополам, после чего попытаемся развернуть одну из половин на плоскости. Станет очевидно, что при этом поверхность шара либо растянется, либо сморщится, в итоге расстояния между различными точками поверхности изменятся. Даже если перед этим мы сделаем несколько радиальных разрезов, это не решит проблему.

Аналогичная трудность поджидает нас и в обратном случае: если мы, например, захотим завернуть апельсин в лист бумаги, на ней образуется множество складок. Поэтому при использовании карт, выполненных в различных проекциях и охватывающих различные участки Земли (в том числе весь земной шар), важно выделить те, которые максимально точно удовлетворяют конкретным требованиям. Если вам понадобится карта, важно не то, насколько она известна, как она называется и рекомендует ли ее какое-нибудь международное агентство. Делайте свой выбор в зависимости от того, сохраняет ли карта необходимые вам метрические свойства.

Кривизна Гаусса и возвращение к картографической задаче

Задачу о составлении точной карты Земли картографы стремились решить во все времена. Следуя путем Эйлера, мы доказали, что эта задача не имеет решения. Но если на минуту забыть об этом, можно задаться вопросом: почему построить такую карту невозможно, почему нельзя преобразовать сферу в плоскость с сохранением метрических свойств? Разумеется, если читатель вспомнит наш эксперимент с пластиковым шаром, то придет к выводу: сфера — искривленная поверхность, а плоскость — нет. Однако этот вывод верен лишь отчасти. Цилиндр и конус — также искривленные поверхности, но тем не менее их можно развернуть на плоскости, сохранив при этом метрические свойства. В чем же разница между сферой, цилиндром и конусом? Быть может, их кривизна чем-то отличается или проблема кривизны вообще не так уж и важна? Действительно, не все поверхности искривлены одинаково. Понятие кривизны, применимое к точке поверхности, показывает, насколько далека данная поверхность от плоскости в рассматриваемой точке. Однако кривизну необходимо как-то измерить, выразить количественно.

Два важных элемента локального анализа поверхности — это плоскость, касающаяся поверхности в точке р, и нормальный вектор поверхности N(p), выходящий из точки р, перпендикулярный касательной плоскости.

Для этого рассмотрим плоскость, касающуюся поверхности S в точке р. Это плоскость, ближайшая к поверхности в указанной точке. Вектор, перпендикулярный касательной плоскости, исходящий из точки р, называется нормальным вектором (см. рисунок). Чтобы определить кривизну поверхности в данной точке, нужно изучить, как изменяется положение касательной плоскости (или нормального вектора) в окрестности этой точки. В математике этот процесс называется дифференцированием. Результатом операции будет математический объект под названием дифференциальная форма (мы не будем приводить здесь точного определения, так как интересующийся читатель найдет его в любой книге по дифференциальной геометрии), который содержит всю информацию о кривизне поверхности. На основе дифференциальной формы определяются две различные кривизны: так называемая кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н.

Примеры поверхностей, на которых оттенками серого обозначены различные значения кривизны Гаусса и средней кривизны. Плоскость (К = Н = 0), цилиндр с радиусом основания r (К = 0; Н = 1/2r), сфера радиуса r (К = 1/r2, Н = -1/r), псевдосфера (К = -1; наибольшая средняя кривизна ближе к краю псевдосферы, на рисунке оттенками серого представлены значения средней кривизны), тор (на внешней части поверхности кривизна положительная, на внутренней — отрицательная; средняя кривизна для разных участков отличается, оттенками серого на рисунке представлены значения кривизны Гаусса); катеноид (Н = 0; оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса), седловая поверхность (оттенками серого представлены значения кривизны Гаусса).