Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

— Вот еще одна вещь, которую мы переняли у вашего народа, — сказал Майн Герр, — создание карт. Но мы пошли в этом деле гораздо дальше вас. Каков, по-вашему, должен быть наибольший масштаб, чтобы карта стала по-настоящему полезной?

— Примерно шесть дюймов на милю.

— Только шесть дюймов! — воскликнул Майн Герр. — Мы довольно быстро дошли до шести ярдов на милю. Затем мы попробовали сделать карту в сто ярдов на милю. А затем нам пришла в голову самая грандиозная идея! Мы создали такую карту нашей страны, масштаб которой равняется миля на милю!

— И часто вы ею пользуетесь? — спросил я.

— Ее еще ни разу не расстилали, — сказал Майн Герр. — Крестьяне были недовольны. Они сказали, что если такую карту расстелить на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы используем саму страну как ее карту, и, смело могу вас заверить, действует она преотлично.

Льюис Кэрролл «Сильвия и Бруно», часть вторая (1893)

Мы вкратце рассмотрели равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта, центральную и стереографическую проекцию — три важные картографические проекции, которые помогли нам лучше понять некоторые аспекты картографии. Однако вернемся к главному вопросу этой книги: существуют ли правильные карты земной поверхности? Как построить правильную карту?

Чтобы не потерять нить рассуждений, напомним, что идеальная карта должна сохранять неизменными (за исключением масштаба) такие метрические свойства, как площади, углы, геодезические линии, формы и в целом длины кривых и расстояния. Иными словами, искомая картографическая проекция должна быть изометрической. Чтобы упростить поиски точной карты Земли, мы задались вопросом: достаточно ли свойства сохранения площадей для того, чтобы равновеликая проекция была изометрической? Положительный ответ значительно упростил бы задачу: мы смогли бы ограничиться рассмотрением только тех проекций, которые сохраняют площади.

Однако после изучения трех проекций стало понятно: чтобы проекция была изометрической и подходила для составления идеальной карты, сохранения только одного из метрических свойств (площадей, углов или формы геодезических линий) недостаточно.

Равноугольные равновеликие проекции

Итак, наша первая попытка построить идеальную карту завершилась неудачей. Тогда рассмотрим следующий вопрос: достаточно ли сохранения двух из трех метрических свойств, чтобы проекция была изометрической?

Начнем с того, что рассмотрим проекцию сферы на плоскость, сохраняющую углы и площади, и попытаемся определить, будет ли эта проекция изометрической. Для этого используем результаты, изложенные в предыдущих главах. В них мы рассмотрели искажения, вносимые проекциями, которые оставляют площади и величины углов неизменными. Как вы знаете из главы 5, если проекция является конформной (равноугольной), искажения в направлении меридианов μ равны искажению в направлении параллелей λ:

μ = λ

С другой стороны, в этой же главе мы показали, что для равновеликих проекций величина искажения вдоль меридианов обратна величине искажения вдоль параллелей, что обеспечивает сохранение площадей:

μ = 1/λ

С учетом обоих равенств имеем:

μ = λ = 1

Иными словами, если проекция будет одновременно равновеликой и конформной, в ней не будет наблюдаться никаких искажений: ни вдоль меридианов, ни вдоль параллелей, ни в каком-либо другом направлении. Следовательно, эта проекция будет изометрической. Читатель может спросить: как быть с масштабом? Напомним, что мы рассматриваем сферическую модель Земли, следовательно, линейное изменение размеров никак не влияет на решение задачи.

Эврика! Точную карту Земли можно построить с помощью проекции, которая сохраняла бы одновременно величины углов и площади. Создание такой проекции нетривиально, ведь она должна сохранять все метрические свойства: геодезические линии, формы, длины кривых и расстояния.

Существует ли правильная карта Земли?

Прежде чем начать поиски равновеликой конформной проекции, на основе которой можно составить идеальную карту Земли, продолжим двигаться намеченным путем и рассмотрим проекции, сохраняющие два других метрических свойства, например величины углов и геодезические линии.