Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Обозначим вершины сферического треугольника через А, В, С, углы — через α, β и γ. Если мы рассмотрим большие круги, на которых лежат стороны АВ и АС, по приведенной выше формуле получим:

t + a = 2αR²

Аналогично имеем:

t + b = 2βR² и t + c = 2γR²

Сложив эти три равенства, имеем:

3t + a + b + c = 2R²(α + β + γ).

Получается, что t + а + Ь + с равно площади поверхности полусферы (заметим, что для каждой вершины, например А, существуют два равных двуугольника с углами α; каждый из них состоит из двух областей площадью t и а). Как следствие,

2t + 2πR² = 2R²(α + β + γ).

Упростив равенство, получим

t = R²(α + β + γ — π).

* * *

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707–1783)

Эйлер считается самым плодовитым математиком всех времен. Он опубликовал свыше 500 книг и статей, а с учетом трудов, напечатанных посмертно (до 1911 года), их число достигает 866. В 1911 году было начато издание полного собрания его сочинений, которое, как планировалось, должно было составить 90 томов.

Эйлер родился в Базеле. Его отец, пастор-кальвинист, хотел, чтобы сын изучал богословие, но Эйлер остановил свой выбор на математике. В 19 лет он опубликовал первый научный труд, посвященный оптимальному расположению мачт и парусов на корабле, при этом он ни разу не видел парусника своими глазами. С 1727 по 1740 год Эйлер жил в Санкт-Петербурге и работал в Петербургской академии наук. По прибытии Эйлер обнаружил, что император совершенно не интересовался науками, и, чтобы заработать на жизнь, в течение трех лет занимался делами русского флота. Он женился на Катарине Гзель, которая родила ему 13 детей. Эйлер говорил, что совершил многие открытия, держа кого-нибудь из детей на руках. В эти же годы ученый ослеп на правый глаз.

В 1741–1766 годах он работал в Берлинской академии наук. Из-за экономического кризиса в первые годы жизни в Берлине Эйлер зарабатывал тем, что учил математике членов знатных семейств. Отношения с королем Фридрихом II не складывались — монарх дал ученому прозвище Математик-циклоп и поручал ему не связанные с наукой задачи: в частности, Эйлеру пришлось возглавить работы по выравниванию Финов-канала, руководить соляной шахтой и решать различные финансовые вопросы. Когда Эйлер вернулся в Санкт-Петербург, Екатерина II отнеслась к нему совершенно иначе, и между ними сложились теплые личные отношения. В конце жизни Эйлер полностью ослеп, однако почти половина его работ была написана именно в этот период.

* * *