Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Искажения, вносимые коническими проекциями, вблизи стандартной параллели (или параллелей) невелики и возрастают по мере приближения к полюсам. В силу этого конические проекции обычно используются для карт стран, регионов и территорий с умеренным климатом, в то время как азимутальные и цилиндрические проекции, как правило, применяются при построении карт полярных и экваториальных территорий соответственно. Так, конические проекции подходят для изображения участков земли, заключенных между двумя не слишком удаленными друг от друга меридианами: например для карт Испании, Франции, Монголии или Аляски. В этой же проекции можно составлять карты более широких областей, простирающихся в направлении с востока на запад, например карты России, Европы или США.

Кроме стандартных, или полярных, конических проекций, также существуют экваториальные и косые конические проекции. Если не соблюдать условия построения конических проекций, мы получим так называемые псевдоконические (на них меридианы изображаются кривыми) и поликонические (где параллели не являются концентрическими окружностями) проекции.

Карта полуострова Флорида, выполненная в равновеликой конической проекции Альберса.

Птолемей создал две конические проекции (хотя в их описании он ни разу не упоминает конус), на которых параллели изображались дугами концентрических окружностей. В первой проекции меридианы изображались прямыми линиями (см. иллюстрацию на стр. 126), во второй — дугами окружности (стр. 12). Труды Птолемея оказали большое влияние на картографию Возрождения: в частности, с начала XVI века конические и псевдоконические проекции постепенно начали изучать и использовать видные картографы: Герард и Румольд Меркаторы, Виллем Блау, Иодокус Хондиус, Гийом Делиль, Джон Спид и другие. Некоторые из этих проекций имели очень любопытную форму, например, Иоганнес Вернер или французский картограф Ригобер Бонне (1727–1795) создали проекции в форме сердца, а французский математик и картограф Оронций Финеус (1494–1555) — проекции в форме двойного сердца.

Вверху — карта мира, составленная Птолемеем в конической проекции. Внизу — карта, созданная на основе проекции в форме двойного сердца, разработанной Оронцием Финеусом (1538).

Равноугольная коническая проекция Ламберта

Цилиндр и плоскость можно рассматривать как предельные случаи конуса: чтобы получить цилиндр, необходимо удалить вершину конуса на бесконечно большое расстояние, а плоскость образуется, если вершина конуса принадлежит его основанию. Ламберт использовал все доступные ему математические инструменты (математический анализ, геометрию, алгебру и тригонометрию) для создания семейства конформных конических проекций с двумя стандартными параллелями. Предельными случаями этих проекций являются стереографическая проекция (азимутальная) и проекция Меркатора (цилиндрическая).

Затем эта проекция была забыта, и о ней вновь вспомнили во Франции во время Первой мировой войны. Позднее равноугольная коническая проекция Ламберта стала одной из самых популярных для составления карт большого масштаба, уступая лишь проекции Меркатора. Ее используют Геологическая служба США и многие международные агентства, а Европейская комиссия рекомендует применять эту проекцию для составления конформных карт Европы в масштабах, меньших или равных 1:500000. Часто она используется и при составлении навигационных карт.

Политическая карта Европы, выполненная в равноугольной конической проекции Ламберта.

Перечислим некоторые другие конические проекции. Во-первых, это косая биполярная проекция, предложенная в 1941 году Осборном Миллером и Уильямом Бризмейстером из Национального географического общества для создания карты всего Американского континента. В этой проекции, которая широко используется до сих пор, были применены две разновидности косой равноугольной конической проекции Ламберта. Во-вторых, это равновеликая коническая проекция Альберса, созданная немецким картографом Хейнрихом Альберсом в 1805 году, а также коническая равнопромежуточная проекция, напоминающая ту, что используется в карте Птолемея, и поликоническая проекция, авторство которой обычно приписывают швейцарскому топографу Фердинанду Хасслеру (1770–1843). В поликонической проекции используются различные конусы, а карта в этой проекции внешне схожа с нефроидой — кривой, по форме напоминающей почку.

Карта Америки, выполненная в биполярной косой проекции.

Глава 8 Что Эйлер сказал картографу