Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

_{(источник: Александр Дюре-Лутц).}

Конформные проекции особенно удобны, когда важны углы или направления (румбы), например в морской и воздушной навигации. Помимо уже упомянутых ортодром, в навигации важную роль играют локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом), так как при прокладке курса вдоль локсодромы нужно всего лишь держаться одного и того же румба, указываемого, например, стрелкой компаса. По этой причине сохраняется актуальность проекции Меркатора, в которой локсодромы изображаются прямыми, следовательно, их можно легко начертить на карте. Так как эти проекции сохраняют величины углов, они также применяются в геодезии, метеорологии (для изображения, например, направлений ветров или перпендикулярных им изобар) и океанографии. Они также находят применение при анализе распространения волн, например сейсмических или радиоволн, которое, как известно, происходит радиально: не будем забывать, что в конформных проекциях окружности изображаются как окружности или прямые. Наконец, как показала американский биоматематик Моника Хёрдал из Университета штата Флорида, конформные проекции важно использовать при составлении карт мозга.

Квинкунциальная проекция Пирса — это конформная проекция, определяемая с помощью методов комплексного анализа на основе стереографической проекции. В квинкунциальной проекции Пирса сфера принимает форму квадрата.

Наконец, так как конформные проекции сохраняют формы на локальном уровне, они удобны для составления карт небольших участков земли.

Чаще всего используются следующие конформные проекции: уже рассмотренная нами стереографическая проекция, проекция Меркатора, равноугольная коническая проекция Ламберта и биполярная косая равноугольная коническая проекция. Существуют и другие конформные проекции, например проекция Лагранжа, представленная Ламбертом в 1772 году, проекции Августа и Айзенлора, представленные около 1870 года, квинкунциальная проекция Пирса, в которой Земля изображена в виде квадрата (1879), и квадратная проекция Гойю (1887).

Конические проекции

Важнейшая конформная проекция после стереографической, о которой мы только что рассказали, и проекции Меркатора, о которой мы поговорим в главе 9, — это равноугольная коническая проекция Ламберта, которая, как следует из названия, относится к третьей группе картографических проекций после азимутальных и цилиндрических. В геометрических (а следовательно, и алгоритмических) конических проекциях сферическая модель Земли проецируется на касающийся ее или пересекающий ее конус, который затем разворачивается на плоскости. Чтобы развернуть конус на плоскости, его нужно разрезать вдоль меридиана. Конус, подобно цилиндру, используется потому, что его можно развернуть на плоскости так, что его метрические свойства останутся неизменными. Кроме того, окружности сечения конуса сферой являются стандартными линиями, то есть линиями, изображаемыми на карте в реальном масштабе. Иными словами, масштаб карты вдоль этих линий является линейным.

Изображение, спроецированное на поверхность конуса и развернутое на плоскости.

Все прямые конические проекции, то есть проекции, в которых вершина конуса лежит на оси «север — юг», а линия касания конуса и сферы проходит вдоль параллели, обладают следующими свойствами.

1. Меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, и разделены интервалами, имеющими одинаковые угловые размеры. Угловое расстояние между меридианами уменьшается в фиксированном масштабе.

2. Параллели отображаются в виде дуг концентрических окружностей, пересекающих меридианы под прямым углом. Искажения вдоль каждой параллели постоянны.

Эти свойства означают, что карта в конической проекции имеет форму кольцевого сектора, а положение меридианов и параллелей задается угловым расстоянием между меридианами и расстоянием между параллелями. Эти параметры, а также стандартная параллель (параллели) и определяют внешний вид карты.

В конических проекциях сетка меридианов и параллелей имеет характерную форму. Примером конической проекции является равновеликая коническая проекция Альберса (1805).