Том 3. Квантовая механика

Начнем с того, что напомним некоторые общие принципы квантовой механики. Пусть имеется частица, которая может в квантовомеханической системе существовать в разных условиях. Любые заданные условия, в которых может быть обнаружен электрон, мы называем «состоянием» и отмечаем их при помощи вектора состояния, скажем |φ>. В каких-то других условиях и метка будет другая, скажем вектор состояния |ψ>. Затем мы вводим идею о базисных состояниях. Мы говорим, что имеется совокупность состояний |1>, |2>, |3>, |4> и т. д., обладающая следующими свойствами. Во-первых, все эти состояния совершенно различны — мы говорим, что они ортогональны. Под этим мы понимаем, что для любой пары базисных состояний |i> и |j> равна нулю амплитуда <i|j> того, что электрон, будучи в состоянии |j>, окажется также и в состоянии <i|, если только, конечно, |i> и |j> не обозначают одного и того же состояния. Все это символически представляется так:

(14.3)

Вспомните, что δ_ij=0, если i и j различны, и δ_ij=1, если i и j одинаковые числа.

Далее, базисные состояния |i> обязаны быть полной совокупностью, так чтобы любое состояние могло быть выражено на их языке. Иначе говоря, любое состояние |φ> может быть полностью описано заданием всех амплитуд <i|φ> того, что частица в состоянии |φ> обнаружится также в состоянии |i>. Вектор состояния |φ> представляется суммой базисных состояний, умноженных каждое на коэффициент, являющийся амплитудой того, что состояние |φ> находится также в состоянии |i>:

(14.4)

Наконец, если рассмотреть любые два состояния |φ> и |ψ>, то амплитуду того, что состояние |ψ> окажется также в состоянии |φ>, можно найти, проецируя сперва состояние |ψ> на базисные состояния, а затем каждое из базисных состояний — на состояние |φ>. Это записывается так:

(14.5)

Суммирование, конечно, проводится по всей совокупности базисных состояний |i>.

В гл. 11, когда мы рассчитывали, что бывает с электроном, помещенным в линейную цепочку атомов, вы выбрали совокупность базисных состояний, в которых электрон был расположен близ того или иного из атомов цепочки. Базисное состояние |n> представляло электрон, локализованный (расположенный) возле атома номер n. (Конечно, неважно, обозначать ли наши базисные состояния |n> или |i>.) Чуть позже мы нашли, что базисные состояния удобнее метить координатой атома, а не номером атома в цепочке. Состояние |х_n> — это просто другой способ записи состояния |n>. Тогда, следуя общему правилу, любое состояние |ψ> можно описать заданием того, что электрон в состоянии |ψ> находится также в одном из состояний |х_n>. Для удобства мы решили обозначать эти амплитуды символом

(14.6)

Поскольку базисные состояния связаны с местоположением электрона на линии, то амплитуду С_n можно рассматривать как функцию координаты х и писать ее в виде С(х_n). Амплитуды С(х_n) будут в общем случае меняться во времени и поэтому суть также функции от t, но мы не будем отмечать эту зависимость явно.

Кроме того, в гл. 11 мы предположили, что амплитуды С(х_n) обязаны меняться во времени так, как положено по гамильтонову уравнению (11.3). В нашем новом обозначении это уравнение имеет вид

(14.7)

Два последних слагаемых в правой части представляют такой процесс, когда электрон, находившийся возле атома (n+1) или возле атома (n-1), окажется возле атома (n).

Мы нашли, что (14.7) имеет решения, отвечающие состояниям определенной энергии. Мы записывали их в виде

(14.8)

У состояний с низкой энергией длины волн велики (k мало) и энергия связана с k формулой

(14.9)

или, если выбрать нуль энергии так, чтобы было (Е₀-2А)=0, то энергия дается формулой (14.1).

Посмотрим, что бы произошло, если бы мы позволили расстоянию b между атомами решетки стремиться к нулю, сохраняя волновое число постоянным. Если бы больше ничего не случилось, то последнее слагаемое в (14.9) обратилось бы просто в нуль, и никакой физики бы не осталось. Но предположим, что А и b вместе изменяются так, что при стремлении b к нулю произведение Ab² поддерживается постоянным[54]: с помощью (14.2) мы запишем Аb² в виде постоянной ℏ²/2m_эфф. При этом (14.9) не изменится, но что произойдет с дифференциальным уравнением (14.7)?

Перепишем сперва (14.7) так:

(14.10)

При нашем выборе Е₀ первое слагаемое выпадет. Далее, представим себе непрерывную функцию С(х), которая плавно проходит через значения С(х_n) в точках х_n. Когда расстояние b стремится к нулю, точки х_n сближаются все теснее и теснее и [если С(х) меняется достаточно плавно] величина в скобках попросту пропорциональна второй производной С(х). Можно написать (в чем легко убедиться, разложив в ряд Тэйлора каждый член) равенство

(14.11)

Тогда в пределе, когда b стремится к нулю, а b²A поддерживается равным ℏ²/2m_эфф, уравнение (14.7) переходит в

(14.12)

Перед нами уравнение, утверждающее, что скорость изменения С(х) — амплитуды того, что электрон будет обнаружен в х— зависит от амплитуды того, что электрон будет обнаружен в близлежащих точках так, что эта скорость пропорциональна второй производной амплитуды по координате.