Том 3. Квантовая механика

Представим себе некоторое возможное состояние электрона; внутренняя угловая структура этого состояния будет определяться квантовым числом l. В зависимости от «ориентации» полного момента количества движения относительно оси z его проекция m на ось z может равняться одному из 2l+1 чисел между +l и -l. Пусть, например, m=1. С какой амплитудой электрон окажется на оси z на расстоянии r от начала? С нулевой. Электрон на оси z не может иметь какого-либо орбитального момента относительно этой оси. Но пусть тогда m=0. Вот это другое дело; теперь уже может появиться не равная нулю амплитуда того, что электрон окажется на оси z на таком-то расстоянии от протона. Обозначим эту амплитуду F_l(r). Это — амплитуда того, что электрон будет обнаружен на расстоянии r по оси z, когда атом находится в состоянии |l, 0>, т. е. в состоянии с орбитальным моментом l и его z-компонентой m=0.

А если нам известно F_l(r), то известно все. Теперь уже в любом состоянии |l, m> мы можем узнать амплитуду ψ_lm(r) того, что электрон обнаружится в произвольном месте атома. Как мы это узнаем? А вот следите. Пусть у нас есть атом в состоянии |l, m>. Какова амплитуда того, что электрон обнаружится под углом θ, φ и на расстоянии r от начала? Проведите новую ось z, скажем z', под этим углом (фиг. 17.3) и задайте вопрос: какова амплитуда того, что электрон окажется на новой оси z на расстоянии r?

Фиг. 17.3. Точка (х, у, z) лежит на оси z' системы координат х', у', z'.

Мы знаем, что он не сможет оказаться на оси z', если только m — его z'-компонента момента количества движения — не равна нулю. Когда же m'=0, то амплитуда того, что электрон обнаружится на оси z', есть F_l(r). Значит, результат получится перемножением двух амплитуд. Первая это амплитуда того, что атом, находящийся в состоянии |l, m> относительно оси z, окажется в состоянии |l, m'=0> относительно оси z'. Умножьте эту амплитуду на F_l(r) и вы получите амплитуду ψ_l,m(r) того, что электрон обнаружится в точке (r, θ, φ) относительно первоначальной системы осей.

Давайте все это распишем. Матрицы преобразования для поворотов мы уже вычислили. Чтобы перейти от системы х, у, z к системе х', у', z' (см. фиг. 17.3), можно сперва сделать поворот вокруг оси z на угол φ, а потом сделать поворот вокруг новой оси у (оси у') на угол θ. Совместный поворот выразится произведением

Амплитуда того, что после поворота обнаружится состояние |l, m'=0>, есть

(17.31)

В итоге получаем

(17.32)

Орбитальное движение может обладать только целыми значениями l. (Если электрон может быть обнаружен в любом месте, где r≠0, то имеется некоторая амплитуда того, что в этом направлении будет m=0. А состояния с m=0 бывают только при целых спинах.) Матрицы поворота для l=1 приведены в табл.15.2. Для больших l вы можете воспользоваться общими формулами, выведенными в гл. 16. Матрицы R_z(φ) и R_y(θ) написаны по отдельности, но как их комбинировать, вы знаете. В общем случае вы начнете с состояния |l, m> и подействуете на него оператором R_z(φ), получив новое состояние R_z(φ)|l, m> (которое просто равно e^imφ|l, m>). Затем вы подействуете на это состояние оператором R_y(θ) и получите состояние R_y(θ) R_z(φ) |l, m>. Умножение на <l, 0| даст вам матричный элемент (17.31).

Матричные элементы операции поворота — это алгебраические функции от θ и φ. Те частные виды функций, которые появляются в (17.31), возникают и во многих других задачах, связанных с волнами на сфере. Им присвоили особое имя. Правда, не у всех авторов обозначения одинаковы; чаще всего все же пишут

(17.33)

Функции Y_l,m(θ, φ) называют сферическими гармониками, а a — просто численный множитель, который зависит от того, как определено Y_l,m. При обычном определении

(17.34)

В этих обозначениях волновые функции водорода записываются так:

(17.35)

Угловые функции Y_l,m(θ,φ) важны не только во многих квантовомеханических задачах, но и во многих областях классической физики, в которых встречается оператор ∇², например в электромагнетизме. В качестве другого примера их применения в квантовой механике рассмотрим распад возбужденного состояния Ne²⁰ (о котором говорилось в предыдущей главе), которое испускает α-частицу и превращается в О¹⁶:

Допустим, что возбужденное состояние имеет спин l (обязательно целый), а z-компонента момента количества движения есть т. Спросим вот о чем: если даны l и m, то какова амплитуда того, что α-частица вылетит в направлении, составляющем с осью z угол θ и с плоскостью xz угол φ (фиг. 17.4)?

Фиг. 17.4. Распад возбужденного состояния Ne²⁰.