Том 3. Квантовая механика

Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|β> равно pψ(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|β>=β(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.

К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная e^-ipx/ℏ по х равна (-i/ℏ)pe^-ipx/ℏ, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что

Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в

Пока речь идет только о связанных состояниях, ψ(x) стремится к нулю при х→±∞, скобка равна нулю и мы имеем

(18.56)

А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что

(18.57)

Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:

(18.58)

Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |ψ>, то ответ был таков:

То же самое в координатном мире записывается так:

Здесь ^ℋ — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.

Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид

В координатном мире соответствующие уравнения таковы:

Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался

В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид

Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |ψ> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представлении мы генерируем соответствующую волновую функцию, действуя на волновую функцию ψ(x) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одномерных задач) между

(18.59)

В этом перечне мы ввели новый символ ^℘_x для алгебраического оператора (ℏ/i)∂/∂x:

(18.60)

и поставили под ^℘ значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.

Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса

При желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать

где е_х, е_y и е_z — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:

(18.61)

Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соответствующие им алгебраические операторы в координатном представлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмерности мира), подытожено в табл. 18.1.

Таблица 18.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах[86]:

либо

(18.62)

либо

(18.63)

Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между ^℘ и ^ℋ.

Если применить ^℘_x дважды, получим

Это означает, что можно написать равенство

Или, в векторных обозначениях,

(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ^, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (нерелятивистская) состоит из кинетической энергии р²/2m плюс потенциальная, а у нас ^ℋ — тоже оператор полной энергии.

Этот результат произвел на некоторых деятелей столь сильное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безразличен.

В гл. 15 мы определили оператор ^p_х через оператор смещения ^D_x [см. формулу (15.27)]:

(18.65)

где δ — малое смещение. Мы должны показать, что это эквивалентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и

Но в правой части стоит просто разложение ψ(x+δ) в ряд Тэйлора, а ψ(x+δ)— то, что получится, если сместить состояние влево на δ (или сдвинуть на столько же вправо систему координат). Оба наши определения ^p согласуются!

Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остановимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х₁, х₂, x₃,... . Запишем ее в виде ψ(x₁, х₂, х₃, ...). Сдвинем теперь систему (влево) на δ. Новая волновая функция

может быть записана так:

(18.66)

Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |ψ> (назовем его полным импульсом) равняется

Но это все равно, что написать

(18.67)

Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.

§ 6. Момент количества движения