Том 3. Квантовая механика

Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.

Мы видели раньше, что P(x)=|ψ(x)|²=ψ*(x)ψ(х), значит, среднее х можно записать в виде

(18.33)

Наше уравнение для <x>_ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ψ оператор ^ℋ, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

(18.34)

где

(18.35)

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |α>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |α>, чтобы было

(18.36)

Разложим сперва <ψ|α> по x-представлению:

(18.37)

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)

(18.38)

Воздействие на |ψ> оператора ^x для получения |α> равнозначно умножению ψ(x)=<x|ψ> на х для получения α(х)=<x|α>. Перед нами определение оператора ^x в координатном представлении[85].

(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора ^x. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

(18.39)

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

(18.40)

т. е. что оператор ^x обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)

А может, вы хотите знать среднее значение x²? Оно равно

(18.41)

Или, если желаете, можно написать и так:

где

(18.42)

Под ^x² подразумевается ^x^x — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x²>_ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хⁿ или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.

§ 5. Оператор импульса

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда

(18.43)

Обозначим теперь через <р|ψ> амплитуду того, что состояние |ψ> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|ψ>; она является функцией от р, как <x|ψ> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

(18.44)

Тогда получится

(18.45)

что очень похоже на то, что мы имели для <x>_ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>_ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

(18.46)

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <ψ|β> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |β> определяется в импульсном представлении уравнением

(18.47)

Иначе говоря, теперь можно писать

(18.48)

причем

(18.49)

где оператор ^p определяется на языке p-представления уравнением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись ^p такова:

(18.50)

и что

(18.51)

Выводится это так же, как и для х.

Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>_ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора ^p в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать ^p в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция ψ(x) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <p>_cp уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|ψ> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|β> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функция ψ(x)=<x|ψ>?

Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.

Напишем

(18.52)

Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |β> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять интеграл. Итак, наша задача — найти функцию β(x)=<x|β>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|β> связано с <x|β>. Согласно уравнению (14.24),

(18.53)

Если нам известно <р|β>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|β>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через ψ(x)=<x|ψ>, потому что считается, что именно эта величина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем

(18.54)

Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл

(18.55)