Том 3. Квантовая механика

Мы уже приводили много примеров квантовомеханических операторов. Встречался нам оператор поворота ^R_у(θ), который, взяв состояние |ψ>, делает из него новое состояние, представляющее собой старое состояние с точки зрения повернутой системы координат. Встречался оператор четности (или инверсии) ^P, создающий новое состояние обращением всех координат. Встречались и операторы ^σ_х, ^σ_у и ^σ_z для частиц со спином ¹/₂.

Оператор ^J_z определялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы ε:

(18.5)

Это, конечно, попросту означает, что

(18.6)

В этом примере ^J_z|ψ> — это умноженное на ℏ/iε состояние, получаемое тогда, когда вы повернете |ψ> на малый угол ε и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состояние», являющееся разностью двух состояний.

Еще один пример. Мы имели оператор ^p_х, он назывался оператором (x-компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если ^D_x(L) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину L, то ^p_х определялось так:

(18.7)

где δ — малое смещение. Смещение состояния |ψ> вдоль оси х на небольшое расстояние δ дает новое состояние |ψ'>. Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек

Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |ψ>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, d/dx это «оператор», действие которого на f(x) создает из f(x) новую функцию f'(x)=df/dx. Другой пример алгебраического оператора — это ∇². Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |ψ>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа.

Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!

Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор ^A, матрица которого в каком-то базисе есть A_ij≡<i|^A|j>. Амплитуда того, что состояние ^A|ψ> находится также в некотором другом состоянии |φ>, есть <φ|^A|ψ>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что

(18.8)

где ^A^† (читается «А с крестом») это оператор, матричные элементы которого равны

(18.9)

Иначе говоря, чтобы получить i, j-й элемент матрицы А^†, вы обращаетесь к j, i-му элементу матрицы А (индексы переставлены) и комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние ^A^†|φ> находится в состоянии |ψ>, комплексно сопряжена амплитуде того, что ^A|ψ> находится в |φ>. Оператор ^A^† называется «эрмитово сопряженным» оператору ^A. Многие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращаетесь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то ^В^†=^В; его называют «самосопряженным», или «эрмитовым», оператором.

§ 2. Средние энергии

До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.

Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |ψ>, которое не является стационарным? Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?

На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния |ψ> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |η_i>. Каждое из состояний |η_i> обладает определенной энергией E_i. В этом представлении

(18.10)