Том 3. Квантовая механика

Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некоторое число Е_i, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |η_i>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E₁, иногда Е₂, иногда Е₃ и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E₁, равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |η₁>, т. е. квадрату модуля амплитуды С₁=<η₁|ψ>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии E_i есть

(18.11)

Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например E₁, Е₇, E₁₁, Е₉, E₁, E₁₀, Е₇, E₂, Е₃, Е₉, Е₆, E₄ и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E₁ (скажем, оно вышло N₁ раз), сколько раз вышло Е₂ (скажем, N₂ раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна

Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех N_i, которую мы обозначим N:

(18.12)

Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение N_i/N должно (при больших N) мало отличаться от P_i— вероятности обнаружить состояние |η_i>, хоть и не будет точно совпадать с Р_i из-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию <E>_ср; тогда мы вправе сказать

(18.13)

Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться

где A_i—различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Р_i — вероятность получения этого значения.

Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию |ψ>. Его средняя энергия равна

(18.14)

А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:

(18.15)

Теперь будем рассматривать левое <ψ| как общий множитель.

Вынесем его за знак суммы и напишем

Это выражение имеет вид <ψ|φ>, где |φ> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством

(18.16)

Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |η_i> в количестве Е_i<η_i|ψ>.

Но вспомним теперь, что такое |η_i>. Состояния |η_i> считаются стационарными, т. е. для каждого из них

А раз Е_i—просто число, то правая часть совпадает с |η_i>Е_i, а сумма в (18.16) — с

Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:

Чудесно, уравнение (18.16) совпало с

(18.17)

Средняя энергия состояния |ψ> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде

(18.18)

Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |ψ> оператором ^H и затем умножьте на <ψ|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Н_ij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычислена из

(18.19)

где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы H_ij.

Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них ^H|j>=E|j>, так что <i|^H|j>=E_jδ_ij и

что вполне естественно.

Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть ^L_z есть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для состояния |ψ> равна

Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором ^A, то среднее значение А в состоянии |ψ> дается формулой

(18.20)

Под этим подразумевается

(18.21)

где

(18.22)

§ 3. Средняя энергия атома

Пусть мы хотим узнать среднюю энергию атома в состоянии, описываемом волновой функцией ψ(r); как же ее найти? Рассмотрим сперва одномерную задачу, когда состояние |ψ> определяется амплитудой <x|ψ>=ψ(x). Нас интересует частный случай применения уравнения (18.19) к координатному представлению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния |i> и |j> на |х> и |х'> и сумму на интеграл. Мы получим

(18.23)

Этот интеграл можно при желании записывать иначе:

где

(18.25)

Интеграл по х' в (18.25) тот же самый, что встречался нам в гл. 14 [см. (14.50) и (14.52)]. Он равен

Поэтому можно написать

(18.26)

Вспомним, что <ψ|x>=<x|ψ>*=ψ*(x); с помощью этого равенства среднее значение энергии в (18.23) можно записать в виде