Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика

Джузеппе Пеано (1858–1932) указал, какие множества называются измеримыми, и привел собственное определение меры в 1887 году. Он определил внутреннюю и внешнюю меру области R как наименьшую внешнюю границу всех многоугольных областей, заключенных внутри R, и как наибольшую внутреннюю границу всех многоугольных областей, содержащих в себе R, соответственно. Пеано назвал измеримым множество, внешняя и внутренняя мера которого совпадают, и доказал, что мера обладает аддитивностью. Кроме того, он объяснил связь между мерой и интегрированием. В 1892 году Камиль Жордан (1838–1922) дал более простое определение меры, применив вместо многоугольников квадратную сетку. Эти определения в некотором роде схожи с методами вычисления приближенных значений числа π путем последовательных приближений периметра или площади круга вписанными и описанными многоугольниками, которые использовали математики древности (египтяне, китайцы, индийцы и греки).

Но новых определений по-прежнему было недостаточно: к примеру, в соответствии с ними множество рациональных чисел не было измеримым. Два года спустяЭмиль Борель (1871–1956) продолжил работу над этой темой и в своей докторской диссертации (1894) определил для описанной им меры счетную аддитивность — более широкое понятие по сравнению с конечной аддитивностью, с которой работал Пеано. Помимо этого, Борель привел определение множеств нулевой меры. Согласно новому определению, множество рациональных чисел на отрезке [0,1], мерой которого, по мнению других авторов, было число 1, было множеством нулевой меры.

Взяв за основу определение меры, введенное Борелем, Анри Лебег (1875–1941) в 1902 году в своей докторской диссертации описал фундаментальные понятия абстрактной теории интегрирования. Он расширил понятие интеграла Римана, введенное Бернхардом Риманом (1826–1866), который определил интеграл как площадь, ограниченную непрерывной кривой, и представил понятие интеграла Лебега, применимое не только для непрерывных функций.

На страницах этой книги мы рассказали, что измерением небес занимается астрономия, а измерением Земли — геодезия; вы узнали, как измерение времени привело к созданию календаря, а необходимость в универсальной мере длины — к определению метра. Самые разные действия в мире физики, астрономии, геодезии и метрологии, а также работа с календарями были бы невозможны без математики. В самой математике понятие меры было определено в теории меры в рамках математической модели, однако для ее подробного рассмотрения потребуется отдельная книга.

Библиография

ALDER, К., La medida de todas las cosas, Madrid, Taurus, 2004.

BISHOP, A.J., Enculturación matemática. La educatión matemática desde una perspectiva cultural, Barcelona, Paidós, 1999.

BOURGOING, J., The Calendar. Measuring Time, London, Thames & Hudson, 2001.

BOYER, C.B., Historia de la matemática, Barcelona, Destino, 2009.

GUEDJ, D., La medida del mundo, Barcelona, Diagonal, Ediciones de Bolsillo, 2001.

IFRAH, G., Historia universal de las cifras, Madrid, Espasa Calpe, 1997.

KATZ, V., MlCHALOWICZ, K. (eds.), Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics, Washington, The Mathematical Association of America, 2004.

KUHN, T.S., La Revolution copernicana, Barcelona, Folio, 2000.

LAFUENTE, A; MAZUERCOS, A., Los Caballeros del punto fijo, Barcelona, Serbal, 1987.

LlNDBERG, D.C., Los initios de la ciencia occidental, Barcelona, Paidós, 2002.

LORENZO, J.A., La Revolutión del metro, Madrid, Celeste Ediciones, 1998.

PALAU, M., La pintoresca historia del calendari, Barcelona, Milla, 1973.

PLA, J., Liu Hui. Nueve capitulos de la matemática china, Madrid, Nivola, 2009.

SOBEL, D., Longitud: la verdadera historia de un genio solitario que resolvió el mayor problema cíentifico de su tiempo, Barcelona, Anagrama, 2006.

* * *

_{Научно-популярное издание}

_{Выходит в свет отдельными томами с 2014 года}

_{Мир математики}

_{Том 38}

_{Иоланда Гевара, Карлес Пюиг}

_{Измерение мира. Календари, меры длины и математика}

_РОССИЯ

_{Издатель, учредитель, редакция:}

_{ООО «Де Агостини», Россия}

_{Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1}

_{Письма читателей по данному адресу не принимаются.}

_{Генеральный директор: Николаос Скилакис}

_{Главный редактор: Анастасия Жаркова}

_{Выпускающий редактор: Людмила Виноградова}