Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ

В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида  являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n = 0 получим F₀ = 3 — простое число. Для n = 1 получим F₁ = 5 — тоже простое число. F₂ = 17, F₃ = 257 и F₄ = 65 537 — все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F₅ = 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F₆ = 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F₇ = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители — задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.

Например, с помощью циркуля и линейки в окружность можно вписать треугольник (3 стороны), квадрат (4 = 2² стороны), пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 = 2·3 сторон), восьмиугольник (8 = 2³ сторон) и десятиугольник (10 = 2·5 сторон), но не семиугольник (7 не является простым числом Ферма) и не девятиугольник (9 = З² равно произведению равных простых чисел Ферма). Хотя для этих случаев существуют приближенные построения, точное построение невозможно.

Портрет Карла Фридриха Гэусса.

* * *