Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ

В «Началах» Евклида приводится общая формула для нахождения пифагоровых троек, то есть натуральных чисел, которые являются решениями уравнения а² + Ь² = с². Для этого выбираются произвольные натуральные числа m и n, причем m > n. Затем рассчитывается

а = m² — n²; b = 2mn; с = m² + n².

Полученные числа а, Ь, с удовлетворяют соотношению

а² + Ь² = (m² — n²)² + (2mn)² = m⁴ — 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² = с²,

следовательно, они образуют пифагорову тройку. Если мы выберем m и n так, чтобы они были взаимно простыми и только одно из них было четным, то по этой же формуле можно получить все примитивные пифагоровы тройки, то есть те, в которых а, b и с являются взаимно простыми. Отсюда следует, что существует бесконечное количество примитивных пифагоровых троек.

Для каждой тройки можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут выражены целыми числами. Ферма доказал, что площадь таких треугольников никогда не может быть равна квадрату числа.

* * *

Слово «совершенные» больше связано с эстетикой, чем с математикой. Эти числа красивы не из-за каллиграфического написания, не потому, что их сложно найти и не из-за витиеватости определения. Вместо этого они обладают одним очень простым свойством.

Возьмем в качестве примера число 6. Его делители, то есть числа, на которые оно делится без остатка, — это 1, 2, 3 и 6. Удивительно, но 1 + 2 + 3 = 6, то есть сумма всех делителей, меньших 6, дает в сумме 6. Следующее совершенное число — 28. Его делители равны 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Нетрудно видеть, что 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Следующее совершенное число — 496. Его делители таковы: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 и 496, и нетрудно показать, что 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Следующее совершенное число — 8128, так как 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128. Эти четыре совершенных числа были известны еще в Античности. Евклид упоминает их в своей книге «Начала» и в теореме 36 книги IX приводит общую формулу для этих чисел.

Появление совершенных чисел

Примерно в 100 году философ Никомах Герасский, представитель неопифагореизма, написал «Введение в арифметику», где приводилась классификация всех чисел. Числа делились на избыточные (сумма делителей которых больше самого числа), недостаточные (сумма делителей которых меньше самого числа) и совершенные (сумма делителей которых равна самому числу). В этой книге объясняется формула Евклида для нахождения совершенных чисел, «которая охватывает все совершенные числа и не включает ни одного, которое таковым не является. Совершенные числа находятся так. Сначала нужно записать в ряд некоторое количество степеней двойки, начиная с единицы и заканчивая любым выбранным вами числом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096. Для каждого нового члена нужно найти сумму этого ряда. Если результат не является составным числом, его нужно умножить на последнее число, добавленное в ряд. Результат умножения всегда будет совершенным числом. Если же сумма не является простым числом, нужно прибавить к ней следующий член ряда и посмотреть, является ли новая сумма составным числом. Если результат — составное число, нужно продолжать складывать члены ряда. Если же результат является простым числом, его нужно умножить на последний член ряда, результат будет совершенным числом, и так до бесконечности. Это легко проверить на конкретных примерах:

1 + 2 = 3 является простым, следовательно,

(1 + 2)·2 = 3·2 = 6 — совершенное число.

1 + 2 + 4 = 7 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4)·4 = 7·4 = 28 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 = 13 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Далее

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16)·16 = 31·16 = 496 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Наконец, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 — простое, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)·64 = 127·64 = 8128 — совершенное число.