Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть сфера A находится под единичным потенциалом, а сфера B - под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда a, помещённого в центре сферы A дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причём, как легко видеть, из четырёх систем изображений, определённых в п. 172, в этом случае существует только третья и четвёртая.

Полагая

k

=

a⁴+b⁴+c⁴-2b²c²-2c²a²-2a²b²

2c

,

получим

sh =-

k

a

, sh =

k

b

.

Значения и для центра сферы A равны =2, =0.

Таким образом, мы должны в уравнениях заменить P на a или -k/sh , - на 2, - на 0, имея в виду, что само P является частью заряда сферы A. Таким образом, для коэффициента ёмкости сферы A получаем

q

_aa

=

k

s=

s=0

1

sh(s-)

,

а для коэффициента индукции A на B или B на A

q

_ab

=

-k

s=

s=1

1

sh s

.

Таким же способом можно было бы, считая потенциал B единичным, а потенциал A - нулевым, найти значение q_bb. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение:

q

_bb

=

k

s=

s=0

1

sh(+s)

.

Чтобы выразить эти величины через радиусы сфер a и b и через расстояние между их центрами c, заметим, что если ввести обозначение

K

=

a

⁴

+b

⁴

+c

⁴

-2b

²

c

²

-2c

²

a

²

-2a

²

b

²

,

то можно написать

sh

=-

K

2ac

,

sh

=

K

2bc

,

sh

=

K

2ab

,

ch

=

c^2+a^2-b^2

2ca

,

ch

=

c^2+b^2-a^2

2cb

,

ch

=

c^2-a^2-b^2

2ab

и использовать соотношения

sh(+)

=

sh ch

+

ch sh

,

ch(+)

=

ch ch

+

sh sh

.

С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим

q

_aa

=

a

+

a^2b

c^2-b^2

+

a^3b^2

(c^2-b^2+ac)(c^2-b^2-ac)

+…

q

_ab

=

-

ab

c

-

a^2b^2

c(c^2-a^2-b^2)

-

a^3b^3

c(c^2-a^2-b^2+ab)(c^2-a^2-b^2-ab)

-…

q

_bb

=

b

+

ab^2

c^2-a^2

+

a^2b^3

(c^2-a^2+bc)(c^2-a^2-bc)

+…

174. Для определения зарядов E_a и E_b двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов V_a и V_b, мы имеем следующие уравнения:

E

_a

=

V

_a

q

_aa

+

V

_b

q

_bb

,

E

_b

=

V

_a

q

_ab

+

V

_b

q

_bb

Если положить

q

_aa

q

_bb

-

q

_ab

^2

=

D

=

1

D'

,

и

p

_aa

=

q

_bb

D'

,

p

_ab

=

-

q

_ab

D'

,

p

_bb

=

q

_aa

D'

,

так что

p

_aa

p

_bb

-

p

_ab

^2

=

D'

,

то уравнения для определения потенциалов через заряды будут иметь вид

V

_a

=

p

_aa

E

_a

+

p

_ab

E

_b

,

V

_b

=

p

_ab

E

_a

+

p

_bb

E

_b

.

где p_aa, p_ab и p_bb - коэффициенты потенциала.

Полная энергия системы равна, согласно п. 85,

Q

=

1/2 (

E

_a

V

_a

+

E

_b

V

_b

)

=

1/2 (

V

_a

^2

q

_aa

+2

V

_a

V

_b

q

_ab

+

V

_b

^2

q

_bb

)

=

1/2 (

E

_a

^2

p

_aa

+2

E

_a

E

_b

p

_ab

+

E

_b

^2

p

_bb

)

Сила расталкивания между сферами равна, таким образом, согласно пп. 92, 93,

F

=

1/2

V

_a

^2

dq_aa

dc

+2

V

_a

V

_b

dq_ab

dc

+

V

_b

^2

dq_bb

dc

=

-

1/2

E

_a

^2

dp_aa

dc

+2

E

_a

E

_b

dp_ab

dc

+

E

_b

^2

dp_bb

dc

,

где c - расстояние между центрами сфер.

Из приведённых двух выражений силы расталкивания более удобно для расчётов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты ёмкости и индукции.

Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты q по c. Эти коэффициенты выражены как функции от k , , , причём при дифференцировании следует считать a и b постоянными. Из уравнений

k

=

-a sh

=

b sh

=

-c

sh ·sh

sh

находим

dk

dc

=-

ch ·ch

sh

,

d

dc

=

sh ·sh

k sh

,

d

dc

=

ch ·sh

k sh

,

d

dc

=

1

k

,

откуда

dq_aa

dc

=

ch ·ch

sh

·

q_aa

k

-

s=

s=0

(sc+b ch ) ch(s-)

c(sh (s-))^2

,

dq_ab

dc

=

ch ·ch

sh

·

q_ab

k

+

s=

s=1

s ch s

(sh s)^2

,

dq_bb

dc

=

ch ·ch

sh

·

q_bb

k

-

s=

s=0

(sc+a ch ) ch(s+)

c(sh (s+))^2

.

Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двухтрех последовательных изображений.

Ряды для производных q по c могут быть легко получены прямым дифференцированием

dq_aa

dc

=

-

2a^2bc

(c^2-b^2)^2

-

2a^3b^2c(2c^2-2b^2-a^2)

(c^2-b^2+ac)^2(c^2-b^2-ac)^2

-…

dq_ab

dc

=

ab

c^2

+

a^2b^2(3c^2-a^2-b^2)

c^2(c^2-a^2-b^2)^2

+

+

a^3b^3{(5c^2-a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)-a^2b^2}

c^2(c^2-a^2-b^2+ab)^2(c^2-a^2-b^2-ab)^2

+…

dq_bb

dc

=

-

2ab^2c

(c^2-a^2)^2

-

2a^2b^3c(2c^2-2a^2-b^2)

(c^2-a^2+bc)^2(c^2-a^2-bc)^2

-…

Распределение электричества на двух соприкасающихся сферах

175. Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале, на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на расстоянии 1/(2a) и 1/(2b) от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке.

Возникнет последовательность положительных изображений с единичным зарядом на расстояниях s(1/a+1/b) от начала координат, где s может принимать все целые значения от - до +.

Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом -1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении a равно

1

a

+

s

1

a

+

1

b

.

При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения даётся выражением

1

,

s

1

+

1

a

b

где s - положительно для сферы A и отрицательно для сферы B. при единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен.