Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть рис. 16 представляет собой сечение сферы через центр O полюс чаши C и индуцирующий точечный заряд Q. Точка D соответствует в инвертируемой фигуре незанятому полюсу ободка чаши и может быть найдена следующим построением.

Проведём через Q хорды EQE' и FQF' Если принять радиус инверсии сферы равным среднему геометрическому между отрезками, на которые делится хорда в точке Q, то E'F' будет изображением EF. Пусть точка D' делит дугу F'CE' пополам, так что F'D' равно D'E'. Проведём прямую D'QD до пересечения со сферой в точке D. Эта точка D и является искомой. Проведём также через центр сферы O и точку Q прямую HOQH, пересекающуюся со сферой в точках H и H'. Тогда для любой точки P на чаше наводимая количеством электричества q в точке Q поверхностная плотность на той стороне, которая отделена от Q дополняющей чашу сферической поверхностью, будет равна

=

q

2^2

QH·QH'

HH'·PQ^3

PQ

DQ

CD^2-a^2

a^2-CP^2

1/2

-

-

arctg

PQ

DQ

CD^2-a^2

a^2-CP^2

1/2

,

где a означает хорду, проведённую из полюса чаши D до ободка чаши. На ближайшей к Q стороне поверхностная плотность равна

+

q

2^2

QH·QH'

HH'·PQ^3

.

ГЛАВА XII

ТЕОРИЯ СОПРЯЖЁННЫХ ФУНКЦИЙ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ

182. Число независимых случаев, в которых решена задача электрического равновесия, весьма невелико. Для сферических проводников развит метод сферических гармоник. Ещё более мощными являются методы электрических изображений и инверсии в тех случаях, когда они применимы. Случай поверхностей второго порядка, насколько я знаю, - единственный, для которого известны и эквипотенциальные поверхности, и силовые линии, причём силовые линии не являются плоскими кривыми.

Но существует важный класс задач в теории электрического равновесия и в теории прохождения тока, в которых рассматривается лишь двумерное пространство.

Так, например, если всюду в рассматриваемой части электрического поля и на значительном расстоянии вне её поверхности всех проводников образованы движением прямых линий, параллельных оси z, а та часть поля, где это не имеет места, настолько удалена от рассматриваемой части, что её электрическим действием можно пренебречь, то электричество будет равномерно распределено вдоль всех образующих, и если рассмотреть участок поля, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными оси z и находящимися на единичном расстоянии, то потенциал и распределение электричества будут функцией лишь от x и y.

Пусть dxdy - количество электричества в элементе объёма с площадью основания dxdy и единичной высотой, a ds - количество электричества на элементе площади с основанием ds и единичной высотой. Тогда уравнение Пуассона можно написать в виде

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

+

4

=

0.

При отсутствии свободных зарядов оно сводится к уравнению Лапласа

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

=

0.

Общая задача электрического равновесия может быть сформулирована следующим образом.

Задана непрерывная двумерная область, ограниченная замкнутыми кривыми C₁, C₂ и т. д. Найти вид такой функции V, которая на этих границах принимает соответственно значения V₁, V₂ и т. д., постоянные на каждой границе, а внутри области всюду конечна, непрерывна, однозначна и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Мне неизвестно, было ли дано какое-либо совершенно общее решение даже для этой задачи, но в этом случае применим приводимый в п. 190 метод преобразования, значительно более мощный, чем любой известный нам метод решения для трёх измерений.

Этот метод основан на свойствах сопряжённых функций двух переменных.

Определение сопряжённых функций

183. Величины и называются сопряжёнными функциями от x и y, если +-1 является функцией от x+-1y.

Из этого определения следует, что

d

dx

=

d

dy

и

d

dy

+

d

dx

=

0,

(1)

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

0,

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

0.

(2)

Таким образом, обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Кроме того,

d

dx

d

dy

-

d

dy

d

dx

=

d

dx

^2

+

d

dy

^2

=

d

dx

^2

+

d

dy

^2

=

R^2.

(3)

Если x и y -прямоугольные координаты, ds₁ -отрезок кривой (=const) между кривыми и (+d) , a ds₂ - отрезок кривой между кривыми и (+d), то

-

ds₁

d

=

ds₂

d

=

1

R

,

(4)

и кривые пересекаются под прямым углом.

Если положить потенциал равным V=V₀+k, где k - некоторая постоянная, то V будет удовлетворять уравнению Лапласа, и кривые будут эквипотенциальными кривыми. Кривые будут при этом силовыми линиями, а поверхностный интеграл от R по цилиндрической поверхности единичной высоты, проекцией которой на плоскость xy является кривая AB, равен k(_B-_A), где _A и _B - значения на концах кривой.

Если построить на плоскости одну совокупность кривых, соответствующую значениям , взятым в арифметической прогрессии, и другую совокупность кривых, соответствующих последовательности значений с той же разностью прогрессии, то обе эти совокупности кривых будут пересекаться всюду под прямыми углами, и при достаточно малой общей разности обеих прогрессий элементы, на которые разделится плоскость, будут в пределе малыми квадратами, стороны которых в разных участках поля имеют разное направление и величину, будучи обратно пропорциональными R