Трактат об электричестве и магнетизме

Таким образом, если взять произвольное число точек на кривой x'' первого чертежа, заметить значения x' и y' в этих точках и отметить соответствующие точки на втором чертеже, то мы получим ряд точек преобразованной кривой x''. Если проделать такое построение для всех кривых x'' и y'' первого чертежа, то на втором чертеже получится два семейства кривых x'', y'' отличающихся от прежних, но обладающих тем же свойством разбиения чертежа на квадратики.

186.Теорема III.Если V - произвольная функция от x' и y, а x' и y' - сопряжённые функции от x и y, то

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

dx

dy

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

dx'

dy'

,

где интегрирование справа и слева производится в соответствующих пределах.

Действительно,

dV

dx

=

dV

dx'

dx'

dx

+

dV

dy'

dy'

dx

,

d^2V

dx^2

=

d^2V

dx'^2

dx'

dx

^2

+2

d^2V

dx'dy'

dx'

dx

dy'

dx

+

d^2V

dy'^2

dy'

dx

^2

+

+

dV

dx'

d^2x'

dx^2

+

dV

dy'

d^2y'

dx^2

,

d^2V

dy^2

=

d^2V

dx'^2

dx'

dy

^2

+2

d^2V

dx'dy'

dx'

dy

dy'

dy

+

d^2V

dy'^2

dy'

dy

^2

+

+

dV

dx'

d^2x'

dy^2

+

dV

dy'

d^2y'

dy^2

.

Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряжённых функций, получим

d^2V

dx^2

d^2V

dy^2

=

d^2V

dx'^2

dx'

dx

^2

+

dx'

dy

^2

+

d^2V

dy'^2

dy'

dx

^2

+

dy'

dy

^2

=

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

dx'

dx

dy'

dy

-

dx'

dy

dy'

dx

,

откуда

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

dx

dy

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

x

x

dx'

dx

dy'

dy

-

dx'

dy

dy'

dx

dx

dy

=

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

dx'

dy'

.

Если V - потенциал, то, согласно уравнению Пуассона

d^2V

dx^2

+

d^2V

dy^2

+

4

=

0,

так что dxdy = dx'dy', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.

Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях

187.Теорема IV.Если x₁ и y₁ а также x₂ и y₂ являются сопряжёнными функциями от x и y, а X=x₁x₂-y₁y₂ и Y=x₁y₂-x₂y₁, то X и Y - сопряжённые функции от x и y.

Действительно,

X

+

-1

Y

=

(x

₁

+

-1

+y

₁

)

(x

₂

+

-1

+y

₂

)

.

Теорема V.Если - решение уравнения

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

0, а

2R

=

ln

d

dx

^2

+

d

dy

^2

и

=-

arctg

d/dx

d/dy

,

то R и - сопряжённые функции от x и y.

Действительно, R и - сопряжённые функции от d/dy и d/dx а последние являются сопряжёнными функциями от x и y.

Пример I. Инверсия.

188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.

Пусть O - фиксированная точка в плоскости, OA - фиксированное направление, r=OP=ae AOP, x и y - прямоугольные координаты точки P относительно O. Тогда

=

ln

x^2+y^2

a

,

=

arctg

y

x

,

x

=

ae

cos

,

y

=

ae

sin

,

(5)

так что и являются сопряжёнными функциями от x и y.

Если '=n и '=n, то ' и ' будут сопряжёнными функциями от и . При n=-1

r'

=

a^2

r

 и

=

-

,

(6)

т.е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом на 180° от направления OA.

Инверсия в двух измерениях

Пусть в этом случае r и r' представляют собой расстояния соответствующих точек от O, e и e' - полную электризацию тела, S и S' -элементы поверхности, V и V' - элементы объёма, и ' - поверхностные плотности, и ' - объёмные плотности, и ' - соответствующие потенциалы. Тогда

r'

r

=

S'

S

=

a^2

r^2

=

r'^2

a^2

,

V'

V

=

a⁴

r⁴

=

r'⁴

a⁴

,

e'

e

=

1,

'

=

r^2

a^2

=

a^2

r'^2

,

'

=

r⁴

a⁴

=

a⁴

r'⁴

,

(7)

и, поскольку, по предположению, ' получается из выражением старых переменных через новые,

'

=

1.

(7')

Пример II. Электрические изображения в двух измерениях

Рис. 17

189. Пусть A - центр окружности радиуса AQ=b [рис. 17], находящейся при нулевом потенциале, а E - заряд в точке A. Тогда потенциал в точке P равен

=

2E

ln

b

AP

;

(8)

и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке Q равна -E/(2b).

Произведём инверсию этой системы относительно точки O, приняв AO=mb, a^2=(m^2-1)b^2. Тогда окружность инвертируется сама в себя и мы получаем заряд в A', равный заряду A, причём AA'=(b/m).

Плотность в точке Q' равна

E

2b

b^2-AA'^2

A'Q'^2

,

а потенциал в произвольной точке P' внутри окружности равен

'

=

=

2E(ln b-ln AP)

=

=

2E(ln OP'-ln A'P'-ln m)

.

(9)

Этот потенциал эквивалентен потенциалу, возникающему от комбинации заряда E в точке A' и заряда -E в точке O, являющейся изображением точки A' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке O равен и противоположен заряду в точке A'.

Если точка P' определена своими полярными координатами, отнесёнными к центру окружности, то, положив =ln r-ln b, ₀=ln AA'-ln b, получим

AP'

=

be

,

AA'

=

be

^₀

,

AO

=

be

^-₀

,

(10)

и потенциал в точке (,) равен

=

E ln

(

e

^-2₀

-2

e

^-₀

e

cos

+

e

²

)

-

-

E ln

(

e

^2₀

-2

e

^₀

e

cos

+

e

²

)

+

2E

₀

.

(11)

Этоc потенциал в точке (,), обязанный заряду E, помещённому в точку (,0), причём =0, когда =0.

В этом случае и - сопряжённые функции в уравнении (5): - логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а - угол.