Трактат об электричестве и магнетизме

Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл (d/ds)ds по замкнутой кривой равен 2 или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает.

Пример III. Преобразование Нейманна для этого случая ¹

¹ См. Crelle's Journal, LIX, p.335, 1861, а также Schwarz Crelle, LXXIV, p. 218 1872.

190. Пусть теперь и - любые сопряжённые функции от x и y, такие, что кривые являются эквипотенциальными кривыми, а кривые - силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.

Предположим, что кривая, для которой потенциал равен ₀, является замкнутой, причём ни одна часть заряженной системы не расположена внутри неё, за исключением половины единичного заряда в начале координат.

Тогда все кривые , расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые встречаются в начале координат и перпендикулярны кривым .

Координаты произвольной точки внутри кривой (₀) определяются значениями и в этой точке, причём при перемещении точки вдоль одной из кривых в положительном направлении значение увеличивается на 2 при полном обходе кривой.

Предположим теперь, что кривая (₀) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью E, расположенного на прямой, представляемой началом координат. При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке внутри кривой равен

=

2E

(-

₀

),

(12)

а количество электричества на любом отрезке кривой (₀) ограниченной точками соответствующими ₁ и ₂, равно

Q

=

1

2

E

(

₁

-

₂

).

(13)

Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.

Пусть значения и для точки, в которой помещён заряд, равны ₁ и ₁. Подставляя в уравнение (11) -₀ вместо , ₁-₀ вместо ₀ (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности =₀) и -₁ вместо , получим для потенциала в произвольной точке с координатами и

=

E ln

(

1

-

2e

^+₁-2₀

cos(-

₁

)

+

e

^2(+₁-2₀)

)-

-E ln

(

1

-

2e

^-₁

cos(-

₁

)

+

e

^2(-₁)

)

-2E

(

₁

-

₀

)

.

(14)

Это выражение для потенциала обращается в нуль при =₀ конечно и непрерывно внутри кривой ₀, за исключением точки (₁,₁), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причём в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно 2E ln r' где r' - расстояние от этой точки.

Таким образом, мы нашли способ нахождения решения задачи Грина для заряда, находящегося в любой точке внутри замкнутой кривой, если известно решение для какой-либо другой точки.

Заряд на элементе кривой ₀ между точками и +d наводимый зарядом E, помещённым в точку (₁,₁) равен в обозначениях п. 183

-

1

4

d

ds₁

ds

₂

,

где ds₁ отсчитывается внутрь, а после дифференцирования полагается равным ₀.

Согласно (4) из п. 183, это равно

1

4

d

d

d

,

(=

₀

); т.е.

-

E

2

1-e^2(₁-₀)

1-2e^(₁-₀)cos(-₁)+e^2(₁-₀)

d.

(15)

Это выражение позволяет найти потенциал в произвольной точке (₁,₁) внутри замкнутой кривой, если в каждой точке этой кривой потенциал задан как функция при условии, что внутри замкнутой кривой нет зарядов.

Действительно, согласно п. 86, часть потенциала в точке (₁,₁), обусловленная наличием потенциала V на участке d замкнутой кривой, равна nV, где n - заряд, наводимый на d единичным зарядом в (₁,₁). Таким образом, если V - потенциал в точке замкнутой кривой, заданный как функция , а - потенциал в точке (₁,₁) внутри замкнутой кривой, не содержащей внутри зарядов, то

=

1

2

2

0

(1-e^2(₁-₀))Vd

1-2e^(₁-₀)cos(-₁)+e^2(₁-₀)

.

(16)

Примep IV. Распределение электричества у ребра проводника, образуемого двумя плоскими гранями

191. В случае, когда границей проводника является бесконечная плоскость y=0, проводник расположен со стороны отрицательных y и поверхностная плотность заряда равна ₀, потенциал на расстоянии y от плоскости равен V=C-4₀y, где C - значение потенциала на самом проводнике.

Примем некоторую прямую, лежащую в плоскости, за полярную ось и преобразуем это выражение к полярным координатам. Тогда потенциал представится в виде V=C-4₀esin , а количество электричества на параллелограмме единичной ширины и длины ae измеряемой вдоль оси, будет равно E=₀ae.

Положим теперь =n' и =n'. Поскольку ' и ' сопряжены и , уравнения

V

=

C

-

4

₀

e

^n'

sin n'

 и

E

=

₀

ae

^n'

.

дают возможное распределение потенциала и заряда.