Трактат об электричестве и магнетизме

Следует различать два случая, в зависимости от того, какая из двух функций, или , меняет знак вместе с y'. Предположим, что знак меняет функция . Тогда любая кривая, для которой постоянно, будет симметрична относительно оси x' и ортогонально пересекать эту ось в некоторой точке отрицательной полуоси x'. Если начать с этой точки, для которой =0, и постепенно увеличивать , то кривая будет постепенно изгибаться от первоначально ортогонального к оси до почти параллельного (при больших ) направления. Положительная полуось x' принадлежит к системе =const, а именно на ней равно нулю, а при y'=±b/2 =/2. Таким образом, кривые, для которых имеет постоянное значение между 0 и /2, образуют систему кривых, охватывающих положительную полуось x'.

Кривые, для которых постоянно, пересекают ортогонально систему кривых , причём значения лежат в пределах от - до +. Для любой кривой , построенной выше оси x', значение положительно, вдоль отрицательной полуоси x' значение равно нулю, а для любой кривой ниже оси x' значение отрицательно.

Мы видели, что система симметрична относительно оси x'. Пусть PQR - любая кривая, ортогонально пересекающая эту систему и оканчивающаяся в точках P и R на линиях y'=±b/2, причём точка Q лежит на оси x'. Тогда кривая PQR симметрична относительно оси x', но если c -значение вдоль PQ, то значение вдоль QR равно -c. В случае, рассматриваемом в п. 195, эта разрывность в значениях объясняется распределением электрического заряда.

Если же считать, что не , а меняет свой знак вместе с y' то значение будет меняться от 0 до . При =0 мы имеем отрицательную полуось x' при = - бесконечно удалённую прямую, перпендикулярную к оси x'. Вдоль любой кривой PQR, расположенной между этими двумя кривыми, пересекающей ортогонально -систему, значение постоянно по всей длине и положительно.

Значения испытывают теперь скачок в точке, где кривая постоянного значения пересекает отрицательную полуось x', знак при этом меняется. Значение этой разрывности станет ясно в п. 197.

Кривые, построение которых здесь описано, приведены на рис. XI. При этом следует ограничиться двумя третями графика, отбросив верхнюю треть.

194. Если считать потенциальной функцией, а - функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечно длинной металлической полосы шириной b с непроводящей прокладкой, неограниченно простирающейся от начала координат в положительном направлении и, таким образом, разделяющей положительную часть полосы на две отдельных части. Мы можем представлять себе эту прокладку как узкую щель в металлическом листе.

Если электрический ток течёт вдоль одной стороны этой прокладки и обратно-вдоль другой, причём вход и выход тока находятся на бесконечном расстоянии на положительной полуоси, то распределение потенциала и тока даётся соответственно функциями и .

Если, наоборот, считать потенциалом, а - функцией потока, то мы придём к случаю тока, протекающего в общем направлении вдоль y' по листу, в котором помещён ряд непроводящих прокладок, параллельных x' и простирающихся от оси y' до бесконечности в отрицательном направлении.

195. Полученные результаты можно также применить к двум важным случаям статического электричества.

(1) Пусть проводник в виде плоского листа, ограниченного прямолинейным, краем с одной стороны и неограниченного с другой стороны, помещён в плоскости xz с положительной стороны от начала координат и пусть параллельно ему по обе стороны на расстоянии b/2 помещены две бесконечные проводящие плоскости. Тогда потенциальная функция равна 0 на среднем проводнике и равна /2 на обеих плоскостях.

Рассмотрим количество электричества на части среднего проводника, простирающейся вдоль z на расстояние 1, а вдоль x' - от начала координат до x'=a

Количество электричества на части этой полосы, простирающейся от x₁' до x₂' равно (₂-₁)/4, следовательно, количество электричества от начала коор динат до x'=a на одной стороне средней пластины равно

E

=

1

4

ln

(

e

^a/b

+

e

^(2a/b)

-1

).

(11)

Если a много больше b, то

E

=

1

4

ln

(

2e

^(a/b)

)

=

a+b ln 2

4b

.

(12)

Таким образом, количество электричества на пластине, ограниченной прямолинейным краем, больше, чем оно было бы при равномерном распределении с плотностью, равной плотности вдали от границы, и равно количеству электричества, равномерно распределённому с той же плотностью по пластине, ширина которой, увеличена на b ln 2 за пределы её фактической границы.

Это воображаемое однородное распределение указано пунктирными прямыми на рис. XI. Вертикальные прямые изображают силовые линии, а горизонтальные - эквипотенциальные поверхности в предположении однородной плотности в обеих плоскостях, продолженных до бесконечности во всех направлениях.