Трактат об электричестве и магнетизме

где r - расстояние от оси проволочек, а - угол между r и y. Поскольку проволока является проводником, то при r равном радиусу проволоки V должно быть постоянно, и, следовательно, коэффициенты при всех косинусах дуг, кратных , должны обращаться в 0.

Перейдём для краткости к новым координатам , и т. д., так что

a

=

2x

,

a

=

2y

,

a

=

2r

,

a

=

2b

  и т.д.,

(15)

и пусть

F

=

ln(

e

⁺

+

e

^-(+)

-

2cos

).

(16)

Тогда, положив

V

=

A

₀

F

+

A

₁

dF

d

+

A

₂

d^2F

d^2

+…,

(17)

мы можем, выбрав соответствующие значения коэффициентов A, представить любой потенциал, являющийся функцией от и cos и не обращающийся в бесконечность нигде, кроме +=0 и cos =1.

При =0 разложение F по и имеет вид

F

₀

=

2 ln

+

1

12

^2cos 2

-

1

1440

⁴

cos 4

+…

.

(18)

Для конечных значений разложение F имеет вид

F

=

+

2 ln(1-e

^-

)

+

1+e^-

1-e^-

cos

-

-

e^-

(1-e^-)^2

^2 cos 2

+…

.

(19)

В случае решётки с двумя проводящими плоскостями, уравнения которых =₁ и =-₂, а уравнение плоскости решётки =0, получатся два бесконечных ряда изображений решётки. Первый ряд будет состоять из самой решётки и бесконечной последовательности изображений с обеих сторон с зарядом той же величины и знака. Оси этих воображаемых цилиндров лежат в плоскостях, уравнения которых имеют вид

=

±2n

(

₁

+

₂

)

.

(20)

Второй ряд будет состоять из бесконечной последовательности изображений, для которых коэффициенты A₀, A₂, A₄ и т.д. равны и противоположны по знаку соответствующим величинам для самой решётки, а коэффициенты A₁, A₃ и т.д. совпадают по величине и по знаку с соответствующими коэффициентами для решётки. Оси этих изображений расположены в плоскостях, уравнения которых имеют вид

=

2

₂

±2m

(

₁

+

₂

)

,

(21)

где m - целое.

Потенциал, создаваемый любой бесконечной последовательностью таких изображений, будет зависеть от того, чётно или нечётно число изображений. Таким образом, потенциал бесконечной последовательности остаётся неопределённым, но если добавить к нему функцию B+C, то условия задачи достаточны, чтобы найти распределение электричества.

Сначала нужно выразить потенциалы двух проводящих плоскостей V₁ и V₂ через B, C и коэффициенты A₁, A₂, …. Затем нужно определить поверхностные плотности ₁, ₂ в произвольной точке этих плоскостей. Средние значения ₁ и ₂ даются уравнениями

4

₁

=

2

a

(A

₀

-B)

,

4

₂

=

2

a

(A

₀

+B)

.

(22)

Затем потенциалы самой решётки и всех изображений следует разложить по и по косинусам дуг, кратных , и добавить к ним B cos +C.

Члены, не зависящие от , дают при этом потенциал решётки V, а приравнивание к нулю коэффициентов при косинусах даёт уравнения для неопределённых коэффициентов.

Полученных таким образом уравнений достаточно для того, чтобы исключить все эти коэффициенты и свести к двум уравнениям, выражающим ₁ и ₂ через V₁ V₂ и V.

Эти уравнения имеют вид

V

₁

-

V

=

4

₁

(b

₁

+-)

+

4

₂

(+)

,

V

₂

-

V

=

4

₁

(+)

+

4

₂

(b

₂

+-)

.

(23)

Количество электричества, наводимое на одной из плоскостей, защищённой решёткой, другой плоскостью при заданной разности потенциалов, будет таким, как если бы плоскости находились не на расстоянии b₁+b₂, а на расстоянии

(-)(b₁+b₂+b₁b₂-4)

+

.

Значения и приближённо равны

=

a

2

ln

a

2c

-

5

3

·

⁴c⁴

15a⁴+⁴c⁴

+

+

2e

^{-4(b₁+b₂)/a}

(1+

e

^-4(b₁/a)

+

e

^-4(b₂/a)

+…)

+…

,

=

3ac^2

3a^2+^2c^2

e^-4(b₁/a)

1-e^-4(b₁/a)

-

e^-4(b₂/a)

1-e^-4(b₂/a)

+…

.

ГЛАВА XIII

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ

Об электростатических приборах

Приборы, которые нам теперь нужно рассмотреть, можно разделить на следующие классы:

1) Приборы для получения и увеличения электризации.

2) Умножители - для увеличения электризации в известное число раз.

3) Электрометры - для измерения электрических потенциалов и зарядов.

4) Накопители - для удержания больших электрических зарядов.

Электрические машины

207. В обычной электрической машине стеклянная пластинка или стеклянный цилиндр приводятся во вращение так, чтобы при этом происходило трение о кожу, на поверхность которой наносится амальгама цинка и ртути. Поверхность стекла электризуется положительно, а натирающая поверхность (щётка) - отрицательно. Когда электризованная поверхность стекла отходит от отрицательно электризованной щётки, стекло приобретает высокий положительный потенциал. Затем поверхность проходит мимо набора заострённых металлических стержней, соединённых кондуктором машины. Положительная электризация стекла вызывает отрицательную электризацию иголок, которая тем больше, чем острее иголки и чем они ближе к стеклу.

Когда машина работает должным образом, между стеклом и остриями происходит разряд через воздух, стекло теряет часть своего положительного заряда, заряд переходит на острия и, таким образом, попадает на изолированный главный кондуктор машины, т. е. на любое другое тело, которое находится с ним в электрическом соединении.

Те участки стекла, которые приближаются к щётке, имеют меньший положительный заряд, чем те, которые в то же самое время удаляются от щётки, так что щётка и связанные с ней проводники становятся отрицательно электризованными.