Трактат об электричестве и магнетизме

Таким образом, если u есть функция x и при непрерывном изменении x от x₀ до x₁ и непрерывно переходит от u₀ до u₁ а при изменении x от x₁ до x₂ и переходит от u'₁ до u'₂, причём u'₁ отличается от u₁ то про величину u говорят, что она имеет разрыв относительно изменения x при значении x=x₁, потому что она меняется от u₁ до u'₁ скачком при непрерывном прохождении x через x₁.

Рассмотрим производную от u по x при значении x=x₁ как предел дроби (u₂-u)/(x₂-x), когда x₂ и x₀ становятся сколь угодно близкими к x₁. Тогда, если x₀ и x₂ всё время находятся по разные стороны от x₁ предельное значение числителя станет равным u'₁-u₁, а предельное значение знаменателя обратится в нуль. Если u является величиной физически непрерывной, то разрыв может осуществляться только при определённых значениях переменной x. В этом случае мы можем допустить, что величина u имеет бесконечную производную при x=x₁. Если же u не является физически непрерывной, она может быть недифференцируема вообще.

В физических вопросах можно избавиться от идеи разрывности без ощутимых изменений условий рассматриваемой задачи. Если x₀ ничтожно меньше x₁, а x₂ ничтожно больше x₁ то величина u₀ почти равна u₁ а величина u₂ почти равна u'₁. И мы можем теперь предположить, что u изменяется каким-либо произвольным, но непрерывным образом от u₀ до u₂ между пределами x₀ и x₂. Во многих физических вопросах можно, сделав вначале такого рода предположение, исследовать затем полученный результат, приближая, а в пределе и совмещая, значения x₀ и x₂ со значением x₁. Если ответ не зависит от произвола, допущенного нами в способе изменения величины u (внутри её пределов), мы можем считать его верным также и для разрывных u.

Разрывность функции от более чем одной переменной

8. Если значения всех переменных, кроме x, положить постоянными, то разрыв функции будет происходить при некоторых значениях x, связанных с другими переменными уравнением, которое можно записать так:

=(x,y,z,…)=0.

Разрыв будет происходить, когда =0. При положительных функция будет иметь вид F₂(x,y,z,…), а при отрицательных -F₁(x,y,z,…), причём не нужно налагать никаких необходимых связей между F₁ и F₂.

Для того, чтобы выразить эту разрывность в математической форме, допустим, что одна из переменных, скажем, переменная x, представлена как функция от и от остальных переменных; допустим также, что F₁ и F₂ представлены как функции , y, z, …. Тогда мы может описать общий вид этой функции с помощыо такой формулы, которая при положительных давала бы значения приблизительно равные F₂, а при отрицательных - приблизительно равные F₁. Эта формула такова:

F=

F₁+eⁿF₂

1+eⁿ

.

До тех пор, пока число n остаётся конечным (хотя и большим), функция F будет непрерывной, но если сделать n бесконечным, то функция F окажется равной F₂ при положительных и F₁ при отрицательных .

Разрывность производных от непрерывных функций

Первые производные от непрерывной функции могут быть и разрывными. Пусть значения переменных, для которых происходит разрыв производных, связаны уравнением

=(x,y,z,…)=0.

a F₁ и F₂ выражены через и через (n-1) остальных переменных, скажем, через (y,z,…).

Тогда при отрицательных следует брать F₁, а при положительных F₂, и так как при =0 функция F сама по себе непрерывна, то F₁=F₂.

Следовательно, при значении , равном нулю, производные dF₁/d и dF₂/d могут быть различными, но производные по любой другой переменной, такие, как dF₁/dy и dF₂/dy, должны быть одинаковыми. Разрывность, таким образом, ограничена только производными по , все же другие производные остаются непрерывными.

Периодические и кратные функции

9. Если функция u от x такова, что её значения при x, x+a, x+na одинаковы, как и при всех других значениях x, отличающихся на a, то u называется периодической функцией x, а a - её периодом.

Если же рассматривать x как функцию u, то для некоторого заданного значения u должен существовать бесконечный ряд значений x, отличающихся друг от друга на величину, кратную a. В этом случае x называется кратной функцией u, а величина a - её циклической постоянной.

Производная dx/du имеет только конечное число значений, отвечающих данному значению u.

О соотношении между физическими величинами и направлениями в пространстве