Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Этот опыт состоит в том, что мы приводим малое проводящее тело в контакт с поверхностью проводника в той точке, где нужно измерить плотность, а затем удаляем тело и определяем его заряд.

Нам нужно сначала показать, что заряд малого тела, находящегося в контакте с проводником, пропорционален поверхностной плотности, которая была в точке контакта до того, как туда было помещено малое тело.

Мы будем предполагать, что все размеры малого тела, и особенно его размер в направлении нормали к точке контакта, малы в сравнении с любым из радиусов кривизны проводника в точке контакта. Таким образом, можно пренебречь изменением результирующей силы из-за того, что проводник предполагается жёстко наэлектризованным внутри области, занятой малым телом, и мы можем рассматривать поверхность проводника вблизи от малого тела как плоскую поверхность.

Далее, заряд, который получит малое тело при контакте с плоской поверхностью, будет пропорционален результирующей силе, нормальной к поверхности, т. е. поверхностной плотности. Мы в дальнейшем определим величину заряда для различных форм тела.

Затем нам следует показать, что, когда малое тело удаляется, между ним и проводником не проскакивает искры, так что оно уносит свой заряд с собой. Это, очевидно, потому, что, когда тела находятся в контакте, их потенциалы одни и те же, и поэтому плотность на участках, ближайших к точке контакта, крайне мала. Когда малое тело отведено на очень короткое расстояние от проводника, о котором мы будем предполагать, что он наэлектризован положительно, тогда электризация в точке, ближайшей к малому телу, уже не равна нулю, а положительна, но, поскольку заряд малого тела положителен, положительная электризация вблизи от малого тела меньше, чем в других соседних точках поверхности.

Далее, прохождение искры зависит, вообще говоря, от величины результирующей силы, а та - от поверхностной плотности. Таким образом, если мы предполагаем, что проводник не настолько сильно электризован, чтобы разряжаться, теряя электричество с других частей поверхности, то не будет и искрового разряда между малым телом и частью поверхности проводника, так как мы показали, что эта часть имеет меньшую поверхностную плотность.

224. Мы теперь рассмотрим различные формы малого тела.

Предположим, что это - малая полусфера, приложенная к проводнику так, что она соприкасается с проводником в центре своей плоской стороны.

Пусть проводник представляет собой большую сферу. Изменим форму полусферы так, что её поверхность будет несколько больше, чем полусфера, и будет встречать поверхность сферы под прямыми углами. Тогда мы имеем случай, для которого мы уже получили точное решение (см. п. 168).

Если A и B - центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямыми углами, DD' - диаметр круга, по которому они пересекаются, а C - центр этого круга, тогда, если V есть потенциал проводника, внешняя поверхность которого совпадает с поверхностью этих двух сфер, количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере A, равно

1/2 V

(AD

BC)

а количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере B, равно

1/2 V

(AD

AC)

причём полный заряд равен сумме этих величин, или

(AD

CD)

Если радиусы сфер равны и , тогда, если радиус велик в сравнении с , заряд на сфере B относится к заряду на сфере A как

3^2

4^2

+ и т.д.

относится к единице.

Пусть теперь обозначает однородную поверхностную плотность на A после удаления B. Тогда заряд на A равен 4^2 и поэтому заряд на B равен

3^2

+ и т.д.

т.е., если радиус очень мал в сравнении с , заряд на полусфере B в три раза превышает такой заряд, который при поверхностной плотности заряда а содержался бы на площади, равной площади кругового основания полусферы.

Из п. 175 следует, что если малая сфера приводится в соприкосновение с электризованным телом, а затем удаляется от него на некоторое расстояние, средняя плотность заряда на сфере относится к плотности заряда на теле в точке соприкосновения как ^2 относится к 6 или как 1,641 к 1.

225. Наиболее удобная форма для пробной плоскости - это форма круглого диска. Поэтому мы покажем, как измерять заряд на таком диске, положенном на электризованную поверхность. Для этой цели мы построим такую потенциальную функцию, у которой одна из эквипотенциальных поверхностей напоминала бы круговую выпуклость с плоской вершиной, схожую по своей общей форме с диском, лежащим на плоскости.

Пусть - поверхностная плотность на плоскости; эту плоскость мы примем за плоскость xy.

Потенциал, отвечающий этой электризации, будет V=-4z.

Пусть теперь два диска радиуса a жёстко наэлектризованы с плотностями заряда +' и -'. Пусть первый из них помещён на плоскость центром в начало координат, а второй - параллельно ему на очень малом расстоянии c.

Перейти на страницу: