Трактат об электричестве и магнетизме

С помощью такой установки г-н Варлей (Varley) успешно воспроизвёл электрическое действие кабеля длиною 12 000 миль.

Если сделать так, что вдоль провода, расположенного слева, начнёт действовать электродвижущая сила, то электричество, втекающее в систему, будет главным образом идти на зарядку различных конденсаторов, начиная с C₁ и до тех пор, пока не пройдёт значительное время, справа будет выходить только очень малая часть тока. Если включить в цепь гальванометры в R₁, R₂ и т. д., то они будут испытывать воздействие тока один за другим, причём интервал во времени между равными показаниями будет возрастать по мере нашего продвижения вправо.

332. В случае телеграфного кабеля проводящая жила отделена от внешних проводников цилиндрическим слоем гуттаперчи или другого изолирующего материала. Таким образом, каждая часть кабеля становится конденсатором, внешняя поверхность которого всегда находится при нулевом потенциале. Следовательно, в данной части кабеля количество свободного электричества на поверхности проводящей жилы равно произведению потенциала на ёмкость этой части кабеля, рассматриваемого как конденсатор.

Если внешний и внутренний радиусы изолирующего слоя равны a₁ и a₂ и если удельная диэлектрическая способность слоя равна K, то ёмкость единицы длины кабеля, по п. 126, равна

c

=

K

2 ln

a

₁

a

₂

(1)

Пусть потенциал в любой точке жилы равен v. Мы будем считать, что потенциал имеет одно и то же значение для каждой части одного и того же сечения.

Пусть Q будет полное количество электричества, которое прошло через это сечение от начала прохождения тока. Тогда количество, которое в момент времени t заключено между сечениями x и x+x, равно

Q

-

Q

+

dQ

dx

x

 или

-

dQ

dx

x

,

и, по сказанному выше, эта величина равна cvx.

Следовательно,

cv

=

-

dQ

dx

.

(2)

Но электродвижущая сила в любом сечении равна -dv/dx, и по закону Ома

-

dv

dx

=

k

dQ

dt

,

(3)

где k - сопротивление единицы длины проводника, a dQ/dx - сила тока. Исключая Q из уравнений (2) и (3), находим

ck

dv

dt

=

d^2v

dx^2

.

(4)

Это уравнение в частных производных, которое нужно решить для того, чтобы получить потенциал в любой момент времени в любой точке кабеля. Оно совпадает с тем уравнением, которое Фурье даёт для определения температуры в любой точке слоя, через который течёт тепло в направлении, перпендикулярном к слою. В случае тепла c означает ёмкость единицы объёма (эту величину Фурье обозначает через CD), a k означает величину, обратную проводимости.

Если прослойка не является совершенным изолятором и если её сопротивление на единицу длины равно k₁ при прохождении тока через слой в радиальном направлении, тогда, если удельное сопротивление изолирующего материала равно ₁, легко показать, что

k

₁

=

1

2

₁

ln

a₁

a₂

.

(5)

Уравнение (2) уже не будет справедливым, поскольку электричество расходуется не только на зарядку жилы до величины, определяемой выражением cv но и на утечку, скорость которой определяется выражением vk₁. Поэтому скорость расхода электричества будет

-

d^2Q

dxdt

=

c

dv

dt

+

1

k₁

v

,

(6)

откуда, сравнивая с (3), получаем

ck

dv

dt

=

d^2v

dx^2

-

k

k₁

v

.

(7)

Такой вид, согласно Фурье, имеет уравнение теплопроводности для стержня или кольца ¹

¹Theory de la Chaleur, Art. 105.

333. Если бы мы приняли, что при повышении потенциала тело электризуется во всем своём объёме так, как если бы электричество нагнеталось внутрь тела, мы бы пришли к уравнению точно такого же вида. Примечательно, что сам Ом, будучи введён в заблуждение этой аналогией между электричеством и теплотой, поддержал мнение такого рода и потому из-за этой ошибочной точки зрения использовал уравнение Фурье для того, чтобы описать истинные законы прохождения электричества по длинному проводу, задолго до того, как были усмотрены действительные причины применимости этих уравнений.

Механическое истолкование свойств диэлектриков

334. Пять трубок A, B, C, D и P равного поперечного сечения расположены так, как показано на рисунке. A, B, C и D расположены вертикально, а P - горизонтально [рис. 27].

Рис. 27

У трубок A, B, C, D нижняя половина наполнена ртутью, а их верхняя половина и горизонтальная трубка P наполнены водой.

Трубка с запорным краном Q соединяет нижнюю часть трубок A и B с нижней частью трубок C и D, а поршень P сделан так, чтобы он мог скользить в горизонтальной трубке.

Начнём с предположения, что уровень ртути во всех четырёх трубках один и тот же, и обозначим этот уровень через A₀, B₀, C₀ и D₀ Пусть при этом поршень находится в положении P₀, а запорный кран Q закрыт.

Пусть теперь поршень перемещается из положения P₀ в положение на расстояние a. Тогда, поскольку сечения всех трубок равны, уровень ртути в A и C поднимется на высоту a, т. е. до отметок A₁ и C₁ а ртуть в B и D опустится на такое же расстояние a, т.е. до отметок B₁ и D₁.

Разность давлений по обе стороны поршня будет представлена величиной 4a.

Эту установку можно использовать для того, чтобы представить диэлектрик, на который действует электродвижущая сила, равная 4a.