Трактат об электричестве и магнетизме

+

df₁

dt

(3)

и аналогичные уравнения для других слоёв, в каждом из которых соответствующие величины имеют индекс, принадлежащий данному слою.

Для определения поверхностной плотности на каждом слое мы имеем уравнение вида

₁₂

=

f

₂

-f

₁

,

(4)

а для определения её изменения имеем

d₁₂

dt

=

p

₁

-p

₂

.

(5)

Дифференцируя (4) по t и приравнивая результат к (5), мы получим

p

₁

+

df₁

dt

=

p

₂

+

df₂

dt

=

u

,

(6)

или, учитывая (3),

u

₁

=

u

₂

= и т.д. =

u

.

(7)

Это означает, что полный ток u имеет одно и то же значение для всех слоёв и равен току, идущему через провод и батарею.

В силу уравнений (1) и (2) имеем также

u

=

1

r₁

X

₁

+

1

4k₁

dX₁

dt

,

(8)

откуда, произведя над u обратную операцию, получим X₁:

X

₁

=

1

r₁

+

1

4k₁

d

dt

-1

u

.

(9)

Полная электродвижущая сила E равна

E

=

a

₁

X

₁

+

a

₂

X

₂

+ и т.д.,

(10)

или

E

=

a

₁

1

r₁

+

1

4k₁

d

dt

-1

+

a

₂

1

r₁

+

1

4k₂

d

dt

-1

+ и т.д.

u

.

(11)

Уравнение (11) даёт соотношение между внешней электродвижущей силой E и внешним током u.

Если отношение r к k имеет одно и то же значение для всех слоёв, уравнение сводится к

E

+

r

4k

dE

dt

=

(a

₁

r

₁

+a

₂

r

₂

+ и т.д.)

u

.

(12)

Это - тот случай, уже рассмотренный в п. 326, в котором, как мы нашли, явление остаточного заряда не может иметь места.

Если имеется n веществ с различными значениями отношения r/k, общее уравнение (11) после избавления от обратных операций будет линейным дифференциальным уравнением n-го порядка по отношению E и (n-1)-го порядка по отношению к u, причём независимой переменной является t.

Из вида уравнения ясно, что порядок, в котором различные слои следуют друг за другом, безразличен, так что, если имеется несколько слоёв, сделанных из одного и того же вещества, мы можем считать, что они объединены в один и явления при этом не меняются.

329. Теперь предположим, что сначала f₁, f₂ и т. д. все равны нулю и что электродвижущая сила E₀ внезапно начинает действовать, и найдём её мгновенный эффект.

Интегрируя (8) по времени, мы находим

Q

=

u

dt

=

1

r₁

X

₁

dt

+

1

4k₁

X

₁

+ const,

(13)

Но, поскольку величина X₁ в этом случае всегда конечна, X₁dt представляет собой неощутимо малую величину, если t есть неощутимо малая величина. Поэтому, так как величина X₁ первоначально равнялась нулю, мгновенный результат будет

X

₁

=

4k

₁

Q

₁

.

(14)

Отсюда, согласно уравнению (10),

E

₀

=

4

(k

₁

a

₁

+k

₂

a

₂

+ и т.д.)

Q

,

(15)

и если C - электрическая ёмкость системы, измеренная таким мгновенным способом, то

C

=

Q

E₀

=

1

4(k₁a₁+k₂a₂+ и т.д.)

.

(16)

Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоёв.

Предположим далее, что электродвижущая сила E₀ остаётся неизменной в течение неопределённо долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный p.

Мы тогда имеем X₁=r₁p и т. д., и поэтому, с учётом (10),

E

₀

=

(r

₁

a

₁

+r

₂

a

₂

+ и т.д.)

p

.

(17)

Если R - полное сопротивление системы, то

R

=

E₀

p

=

r

₁

a

₁

+r

₂

a

₂

+ и т.д.

(18)

В этом состоянии из (2) имеем

f

₁

=

r₁

4k₁

p

,

так что

₁₂

=

r₂

4k₂

-

r₁

4k₁

p

.

(19)

Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение E быстро изменится от начального значения E₀ до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества Q.

Для того чтобы определить величину Q, заметим, что если X'₁ есть новое значение величины X₁ то, с учётом (13),

X'

₁

=

X

₁

+

4k

₁

Q

.

(20)

Отсюда, с учётом (10), полагая E₀, получаем

0

=

a

₁

X

₁

+ и т.д.+

4

(a

₁

k

₁

+a

₂

k

₂

+ и т.д.)

Q

,

(21)

или

0

=

E

₀

+

1

C

Q

.

(22)

Отсюда Q=-CE₀, где C - ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.

Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь u=0, так что, согласно уравнению (8),

X

₁

=

X'

₁

exp

-

4k₁

r₁

t

,

(23)

где X'₁ есть начальное значение после разряда.

Отсюда для любого момента t получаем, с учётом (23) и (20):

X

₁

=

E

₀

r₁

R

-

4k

₁

C

exp

-

4k₁

r₁

t

.

Поэтому значение E в любой момент равно

E

₀

a₁r₁

R

-

4a

₁

k

₁

C

exp

-

4k₁

r₁

t

+

+

a₂r₂

R

-

4a

₂

k

₂

C

exp

-

4k₂

r₂

t

+ и т.д.

,

(24)

и мгновенный заряд по истечении любого времени t равен EC. Эта величина и называется остаточным разрядом.

Если отношение r/k имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина E сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.

Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при t=0 имеем E=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях t. Таким образом, при положительных t величина E также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.

Если время t бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоёв не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина r₁ бесконечна, значение R для всей системы также становится бесконечным и значение E в конце равно не нулю, а

E

=

E

₀

(1-4a

₁

k

₁

C)

.

(25)

Таким образом, если некоторые, но не все из слоёв оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе.