Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Джеймс Клерк Максвелл

PJ₁

+ и т.д. +

(')ⁿ

PJ_n

+…

(16)

Если первая среда такая же, как третья, то k₁=k₃, =', и потенциал по другую сторону пластины будет равен

(1-^2)

PJ₁

+ и т.д. +

²ⁿ

PJ_n

+…

(17)

Если пластина является намного более хорошим проводником, чем остальная среда, величина очень близка к 1. Если среда является почти идеальным изолятором, величина очень близка к -1, а если проводимость пластины мало отличается от проводимости среды, есть малая величина, положительная или отрицательная.

Эта задача была впервые поставлена Грином в его работе «Теория магнитной индукции» (Essay, р. 65). Его результат, однако, верен только в случае, когда величина почти равна единице ². Величина g, которую использует Грин, связана с уравнениями

k₁-k₂

k₁+2k₂

2+g

k₁-k₂

k₁+k₂

² См. сэр У. Томсон «О наведённом магнетизме в пластине», Camb. and Dub. Math. Journal, Nov., 1845 или Reprint, art. IX, § 156.

Если мы положим =2k/(1+2k), то получим решение задачи о магнитной индукции, наведённой магнитным полюсом в бесконечной пластине с коэффициентом намагничения k.

О слоистых проводниках

319. Пусть проводник составлен из чередующихся слоёв с толщинами c и c' из двух веществ с различными коэффициентами проводимости. Требуется определить коэффициенты сопротивления и проводимости у составного проводника.

Будем считать, что плоскости слоёв нормальны к оси z. Будем помечать штрихом каждую величину, относящуюся к слою второго вещества, а величины, относящиеся к составному проводнику, будем помечать чертой сверху, например, X. Тогда

X',

(c+c')

cu+c'u',

Y',

(c+c')

cv+c'v',

(c+c')

cZ+c'Z',

w',

Сначала мы должны определить u, u', v, v', Z и Z' через X, Y, и w из уравнений сопротивления, п. 297, или уравнений проводимости, п. 298. Если мы обозначим через D детерминант, составленный из коэффициентов сопротивления, мы найдём

₃

₂

₃

₂

₃

₁

₃

₁

₃

-p

₂

₁

Аналогичные соотношения для штрихованных величин дают значения u', v', и Z'. Выразив u, v и w через X, Y и Z, мы можем написать уравнения проводимости для слоистого проводника. Полагая h=c/r₃ и h'=c'/r'₃, мы найдём

hp₁+h'p'₁

h+h'

hq₁+h'q'₁

h+h'

₂

hp₁+h'p'₁

h+h'

₂

hq₂+h'q'₂

h+h'

₃

cp₃+c'p'₃

c+c'

hh'(q₁-q'₁)(q₂-q'₂)

(h+h')(c+c')

₃

cq₃+c'q'₃

c+c'

hh'(p₁-p'₁)(p₂-p'₂)

(h+h')(c+c')

₁

cr₁+c'r'₁

c+c'

hh'(p₂-p'₂)(q₂-q'₂)

(h+h')(c+c')

₂

cr₂+c'r'₂

c+c'

hh'(p₁-p'₁)(q₁-q'₁)

(h+h')(c+c')

₃

c+c'

h+h'

320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в п. 303, значение любой из величин P или p будет равно значению соответствующей величины Q или q. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также p₁=q₁, p₂=q₂, p₃=q₃.

Другими словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои.

321. Если мы теперь предположим, что свойство вращения отсутствует и что оси x, y, z являются главными осями, тогда коэффициенты p и q исчезают и

₁

cr₁+c'r'₁

c+c'

₂

cr₁+c'r'₂

c+c'

₃

c+c'

(c/r₁)+(c'/r'₁)

Если мы начнём со случая, когда обе среды изотропны, но имеют различные проводимости r и r', то, поскольку

₁

₃

cc'

c+c'

(r-r')^2

(cr'+c'r)

разбиение на слои приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоёв одинаковы.

322. Возьмём изотропную среду проводимости r, разобьём её на исключительно тонкие слои толщиной a и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна s, а толщина k₁a.

Пусть эти слои будут нормальны к оси x. Затем разобьём этот составной проводник на гораздо более толстые слои толщины b, перпендикулярные оси y, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна s, а толщина k₂b.

Наконец, разобьём этот новый проводник на ещё более толстые слои толщины c, перпендикулярные к оси z, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна s, а толщина k₃c.

В результате этих трёх операций вещество проводимости r разобьётся на прямоугольные параллелепипеды с размерами a, b, c, причём размер b крайне мал по сравнению с c и размер a крайне мал по сравнению с b. Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью s, так что они отдалены друг от друга на расстояния k₁a вдоль оси x, k₂b - в направлении оси y и k₃c - в направлении оси z. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321.

При этом мы получим

₁

{1+k

₁

(1+k

₂

)(1+k

₃

)}r

₂

₃

₂