Трактат об электричестве и магнетизме

Точность этого рассмотрения определяется тем, что три размера параллелепипедов имеют разные порядки величины, так что мы можем пренебречь условиями, которые должны быть выполнены на рёбрах и в вершинах. Если мы положим каждую из величин k₁, k₂, k₃ равной единице, то получим

r

₁

=

5r+3s

4r+4s

s

,

r

₂

=

3r+5s

2r+6s

s

,

r

₃

=

2r+6s

r+7s

.

Если r=0, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то

r

₁

=

3

4

s

,

r

₂

=

5

6

s

,

r

₃

=

6

7

s

.

Если r=, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками,

r

₁

=

5

4

s

,

r

₂

=

3

2

s

,

r

₃

=

2s

.

В любом случае, если k₁=k₂=k₃, можно показать, что r₁, r₂ и r₃, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление - в направлении наименьших размеров.

323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твёрдого тела, имеется проводящий канал между противоположными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.

Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны a, b и c, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (abc), равна abcK.

Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна aX+bY+cZ, и если ток вдоль канала равен C' то C'=Kabc(aX+bY+cZ).

Ток, идущий через грань параллелепипеда bc равен bcu, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или

bcu

=

bc

(r

₁

X+p

₁

Y+q

₁

Z)

+

Kabc(aX+bY+cZ)

,

или

u

=

(r

₁

+Ka^2)X

+

(p

₃

+Kab)Y

+

(q

₂

+Kba)Z

.

Таким же путём мы можем найти значения v и w. Коэффициенты проводимости с учётом изменения, которое вызвано влиянием канала, имеют вид

r

₁

+Ka^2,

r

₂

+Kb^2,

r

₃

+Kc^2,

p

₁

+Kbc,

p

₁

+Kca,

p

₃

+Kab,

q

₁

+Kbc,

q

₂

+Kca,

q

₃

+Kab.

В этих выражениях добавки к значениям p₁ и т.д., вызванные действием канала, равны добавкам к значениям q₁ и т. д. Следовательно, значения p₁ и q₁ не могут стать неравными из-за введения линейного канала в каждый элемент объёма тела, и поэтому свойство вращения, рассмотренное в п. 303, если оно первоначально отсутствовало у тела, не может быть создано таким способом.

324.Как построить решётку из проводников, которая будет иметь любые заданные коэффициенты проводимости, образующие симметричную систему.

Рис. 25

Пусть пространство разбито на одинаковые малые кубы, один из которых представлен на рис. 25. Обозначим координаты точек O, L, M, N и потенциалы этих точек следующим образом:

x

y

z

Потенциал

0

0

0

0

X+Y+Z

L

0

1

1

X

M

1

0

1

Y

N

1

1

0

Z

Пусть эти четыре точки соединены шестью проводниками

OL

,

OM

,

ON

,

MN

,

NL

,

LM

,

у которых значения проводимости соответственно равны

A

,

B

,

C

,

P

,

Q

,

R

.

Электродвижущие силы вдоль этих проводников будут равны

Y+Z

,

Z+X

,

X+Y

,

Y-Z

,

Z-X

,

X-Y

,

а токи -

A(Y+Z)

,

B(Z+X)

,

C(X+Y)

,

P(Y-Z)

,

Q(Z-X)

,

R(X-Y)

.

Те из этих токов, которые переносят электричество в положительном направлении оси x, протекают вдоль проводников LM, LN, OM, и ON, а переносимое количество равно

u

=

(B+C+O+R)

X

+(C-R)

Y

+(B-Q)

Z.

Подобным же образом,

v

=

(C-R)

X

+(C+A+R+P)

Y

+(A-P)

Z,

w

=

(B-Q)

X

+(A-P)

Y

+(A+B+P+Q)

Z.

Откуда путём сравнения с уравнениями проводимости, п. 298, находим

4A

=

r

₂

+r

₃

-r

₁

+2p

₁

,

4P

=

r

₂

+r

₃

-r

₁

-2p

₁

4B

=

r

₃

+r

₁

-r

₂

+2p

₂

,

4Q

=

r

₃

+r

₁

-r

₂

-2p

₂

4C

=

r

₁

+r

₂

-r

₃

+2p

₃

,

4R

=

r

₁

+r

₂

-r

₃

-2p

₃

ГЛАВА X

ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА В ДИЭЛЕКТРИКАХ

325. Мы видели, что, когда электродвижущая сила действует на диэлектрическую среду, она производит в среде состояние, которое мы назвали электрической поляризацией и которое мы описали как электрическое смещение внутри среды в направлении, в изотропной среде совпадающем с направлением электродвижущей силы, сопровождаемое появлением поверхностного заряда на каждом из элементов объёма, на которые, как мы можем предположить, разбит диэлектрик. Поверхностный заряд положителен на той стороне, по направлению к которой действует электродвижущая сила, и отрицателен на той стороне, от которой она действует.

Если электродвижущая сила действует на проводящую среду, она также производит то, что называется электрическим током.

Но диэлектрические среды, за очень немногими исключениями, если такие исключения вообще имеются, являются также более или менее несовершенными проводниками, и многие среды, которые не представляют собой хороших изоляторов, обнаруживают явления диэлектрической индукции. Таким образом, мы приходим к необходимости изучать такое состояние среды, в котором одновременно имеют место индукция и прохождение электричества.

Для простоты мы будем предполагать, что среда изотропна в каждой точке, но не обязательно однородна в различных точках. В этом случае уравнение Пуассона, согласно п. 83, становится таким:

d

dx

K

dV

dx

+

d

dy

K

dV

dy

+

d

dz

K

dV

dz

+4

=

0,

(1)

где K - «удельная индуктивная способность».