Трактат об электричестве и магнетизме

315. Возьмём в качестве примера случай двух сред, разделённых плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии a от этой плоской поверхности расположен источник электричества S, причём количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно S.

Если бы первая среда была бесконечно протяжённой, ток в любой точке P был бы направлен по SP, а потенциал в P равнялся бы E/r₁ где E=(Sa)/4, а r₁=SP.

В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку I, изображение источника S, такую, что отрезок SI перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от I равно r₂ тогда на поверхности раздела

r

₁

=

r

₂

,

(1)

dr₁

d

=

-

dr₂

d

.

(2)

Пусть потенциал V₁ в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества E, помещённым в S, и воображаемым количеством E₂ в точке I, и пусть потенциал V₂ в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества E₁, помещённого в точке S. Тогда, если

V

₁

=

E

r₁

+

E₂

r₂

 и

V

₁

=

E₁

r₁

,

(3)

условие на поверхности V₁=V₂ даёт

E+E

₂

=

E

₁

,

(4)

а условие

1

k₁

dV₁

d

=

1

k₂

dV₂

d

(5)

даёт

1

k₁

(E-E

₂

)

=

1

k₂

E

₁

,

(6)

откуда

E

₁

=

2k₂

k₁+k₂

E

,

E

₂

=

k₂-k₁

k₁+k₂

E

.

(7)

Таким образом, потенциал в первой среде оказывается таким же, какой был бы создан в воздухе, согласно электростатической теории, зарядом E, помещённым в S, и зарядом E₂, помещённым в I, а потенциал во второй среде совпадает с тем, который был бы создан в воздухе зарядом E₁ помещённым в точке I.

Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником S и источником (k₂-k₁)S/(k₂+k₁), расположенным в I, если бы первая среда была бесконечной, а ток в любой точке второй среды оказывается таким же, как если бы он был вызван источником 2k₂S/(k₁+k₂), расположенным в S, если бы вторая среда была бесконечной.

Таким образом, в случае двух сред, разделённых плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений. Какова бы ни была природа электродвижущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определён сочетанием их прямого действия с действием их изображения.

Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то k₂=0 и изображение, расположенное в точке I, равно по величине и противоположно по знаку источнику в S. Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике.

Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то k₂=, и изображение в точке I равно источнику в S и имеет тот же знак. То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жёсткой плоской поверхностью.

316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального проводника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два проводника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 ¹.

¹ См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.

Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды

317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной AB из среды с сопротивлением k₂, разделяющей две среды с сопротивлениями k₁ и k₃, на изменение потенциала источника S, расположенного в первой среде.

Рис. 24

Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определённых точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через S.

Положим

AS

=

SA

,

BI

₁

=

SB

,

BJ

₁

=

I

₁

B

,

BI

₂

=

J

₁

B

,

BJ

₂

=

I

₂

A

, и т.д.

тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].

318. Потенциал в первой среде в любой точке P равен

E

PS

+

I

PI

+

I₁

PI₁

+

I₂

PI₂

+ и т.д.

(8)

Потенциал в точке P' во второй среде равен

E'

P'S

+

I'

P'I

+

I'₁

P'I₁

+

I'₂

P'I₂

+ и т.д. +

J'₁

P'J₁

+

J'₂

P'J₂

+ и т.д.

(9)

и потенциал в точке P'' в третьей среде равен

E''

P''S

+

J₁

P''J₁

+

J₂

P''J₂

+ и т.д.,

(10)

где I, I' и т. д.- воображаемые заряды, расположенные в точках I и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.

Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через A, мы имеем

I

=

k₂-k₁

k₂+k₁

E

,

E'

=

2k₂

k₁+k₂

.

(11)

Для поверхности, проходящей через B, находим

I'

₁

=

k₃-k₂

k₃+k₂

E'

,

E''

=

2k₃

k₂+k₃

E'

.

(12)

Подобным же образом снова для поверхности, проходящей через A,

J'

₁

=

k₁-k₂

k₁+k₂

I'

₁

,

I

₁

=

2k₁

k₁+k₂

I'

₁

,

(13)

и для поверхности, проходящей через B,

I'

₂

=

k₃-k₂

k₃+k₂

J'

₁

,

J

₁

=

2k₃

k₃+k₂

J'

₁

.

(14)

Если мы обозначим

=

k₁-k₂

k₁+k₂

 и

'

=

k₃-k₂

k₃+k₂

,

то найдём для потенциала в первой среде

V

=

E

PS

-

E

PI

+

(1-^2)'

E

PI₁

+

'(1-^2)'

E

PI₂

+ и т.д +

+

'(1-^2)(')

^n-1

E

PI_n

+

.

(15)

Для потенциала в третьей среде мы найдём

V

=

(1+')(1-)

E

1