Трактат об электричестве и магнетизме

Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещён бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода велики в сравнении с диаметром цилиндра, то распределение потенциала будет таким, как у проводника, имеющего форму диска и помещённого в бесконечную среду (см. п. 151, 177).

Если E - разность между потенциалом диска и потенциалом удалённых частей электрода, C - ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и ' - удельное сопротивление электрода и если Q - количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределённым как в п. 151, то легко видеть, что интеграл от электродвижущей напряжённости по диску равен

'C

=

1

4

4Q

=

2

aE

(/2)

, в силу п. 151,

=

4aE.

(18)

Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна L и его удельное сопротивление равно , то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой

R

=

L

a^2

+

4a

,

и это можно записать так:

R

=

a^2

L

+

'

·

a

4

,

(19)

где второй член в скобках даёт величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка.

Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведённой через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и не будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае. Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям.

309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.

Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно C/(a^2), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда , где

2

=

C'

a^2

,

(20)

а ' - удельное сопротивление.

Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью .

Потенциал ⁵ на краю диска с однородной плотностью легко определяется и равен 4a. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной da вдоль окружности диска, равна 2ada·4a, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины,

или P

=

8

3

a^3

^2

.

(21)

⁵ См. работу профессора Кэйли (Cayley), London, Math. Soc. Proc., VI, p. 38.

При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением R' равна CR'. Но, согласно общему уравнению, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде -(1/')(dV/d) или (2/').

-

1

'

dV

d

 или

2

'

.

Если V - потенциал на диске, а ds - элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна

=

C

a^2

V

ds

=

2C

a^2

P

, поскольку P

=

1

2

V

ds

,

=

4

'

P (по формуле(20))

.

Таким образом, мы получаем

C^2

R'

=

4

'

P

,

(22)

откуда с учётом (20) и (21)

R'

=

8'

3^2a

,

и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна

'

8

3

a

,

причём это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна ('/)an, где n - число, лежащее между /4 и 8/3 или между 0,785 и 0,849.

Лорд Рэлей ⁶ во втором приближении уменьшил верхний предел для n до 0,8282.

⁶Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.- Примеч. пёр.).

ГЛАВА IX

ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ

Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами

310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов.