Библибоба

Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Джеймс Клерк Максвелл

На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны. Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведённым в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если потенциалы измеряются по методу, описанному в п. 222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путём потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов.

Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред.

Таким образом, если V1 и V2 обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела


V

1

=

V

2

,


(1)


и если u1, v1, w1 и u2, v2, w2 - составляющие токов в этих двух средах, а l, m, n - направляющие косинусы нормали к поверхности раздела, то


u

1

l

+

v

1

m

+

w

1

n

=

u

2

l

+

v

2

m

+

w

2

n

.


(2)


В самом общем случае составляющие u, v, w являются линейными функциями производных потенциала V; вид этих линейных функций определяется уравнениями


u

=

r

1

X

+

p

3

Y

+

q

2

Z

,


v

=

q

3

X

+

r

2

Y

+

p

1

Z

,


w

=

p

2

X

+

q

1

Y

+

r

3

Z

,


(3)


где X, Y, Z - производные функции V соответственно по x, y, z.

Возьмём случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициентами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный r.

Обозначим значения X, Y, Z в изотропной среде через X', Y', Z' тогда на поверхности имеем


V

=

V'

,


(4)


или


Xdx

+

Ydy

+

Zdz

=

X'dx

+

Y'dy

+

Z'dz

,


(5)


если


ldx

+

mdy

+

ndz

=

0.


(6)


Это условие приводит к


X'

=

X

+

4l

,

Y'

=

Y

+

4m

,

Z'

=

Z

+

4n

,


(7)


где - поверхностная плотность.

В изотропной среде имеем также


u'

=

rX'

,

v'

=

rY'

,

w'

=

rZ'

,


(8)


и условие на границе для тока таково:


u'l

+

v'm

+

w'n

=

ul

+

vm

+

wn

,


(9)


или


r

(

lX

+

mY

+

nZ

+

4

)

=

l

(

r

1

X

+

p

3

Y

+

q

2

Z

)

+


+

m

(

q

3

X

+

r

2

Y

+

p

1

Z

)

+

n

(

p

2

X

+

q

1

Y

+

r

3

Z

)

,


(10)


откуда


4r

=

{

l(r

1

-r)

+

mq

3

+

np

2

}

X

+

{

lp

3

+

m(r

2

-r)

+

nq

1

}

Y

+


+

{

lq

2

+

mp

1

+

n(r

3

-r)

}

Z

.


(11)


Величина а представляет собой поверхностную плотность заряда на поверхности раздела. В кристаллизованных и упорядоченных веществах эта величина зависит от направления поверхности, а так же и от перпендикулярной к ней силы. В изотропных веществах коэффициенты p и q равны нулю, а все коэффициенты r равны между собой, и, таким образом,


4

=


r1

r

-1

(

lX

+

mY

+

nZ

).


(12)


где r1 - проводимость рассматриваемого вещества, r - проводимость внешней среды, а l, m, n, - направляющие косинусы нормали, проведённой в ту среду, проводимость которой равна r.

В случае, когда обе среды изотропны, эти условия можно значительно упростить, ибо если k есть удельное сопротивление единицы объёма, то


u

=-

1

k


dV

dx

,

v

=-

1

k


dV

dy

,

w

=-

1

k


dV

dz

,


(13)


и если v есть нормаль, проведённая из первой среды во вторую в любой точке поверхности раздела, то условие непрерывности есть


1

dV

1

=

1

dV

1

.


k

1

d

k

2

d


(14)


Если углы, которые линии тока в первой и во второй средах составляют с нормалью к поверхности раздела, равны соответственно 1 и 2, то касательные к этим линиям тока лежат по обе стороны от границы раздела в одной плоскости с нормалью и


k

1

tg

1

=

k

2

tg

2

.


(15)


Это соотношение можно назвать законом преломления линий тока.

311. В качестве примера условий, которые должны быть выполнены, когда электричество пересекает границу раздела двух сред, рассмотрим сферическую поверхность радиуса a, при этом внутри сферы удельное сопротивление равно k1 а снаружи k2.

Разложим потенциал как внутри, так и вне поверхности по пространственным гармоникам и пусть слагаемые, которые зависят от поверхностной гармоники Si равны


V

1

=

(

A

1

r

i

+

B

1

r

-(i+1)

)

S

i

,


(1)


V

2

=

(

A

2

r

i

+

B

2

r

-(i+1)

)

S

i

,


(2)


соответственно внутри и вне сферы.

На поверхности раздела, где r=a, мы должны иметь


V

1

=

V

2

 и

1

dV

1

=

1

dV

1

.


k

1

dr

k

2

dr


(3)


Из этих условий мы получаем уравнения


(A

1

-A

2

)

a

2i+1

+

B

1

-B

2

=

0,



1

k1

A

1

-

1

k2

A

2

ia

2i+1

-


1

k1

B

1

-

1

k2

B

2

(i+1)

=

0.



(4)


Эти уравнения, если мы знаем две из четырёх величин A1, A2, B1, B2, достаточны для определения двух других величин.

Предположим, что A1 и B1 известны, тогда для A2 и B2 мы получим следующие выражения:


A

2

=

{k

1

(i+1)+k

2

}A

1

+

(k

1

-k

2

)

(i+1)

B

1

a

-(2k+1)

,


k

1

(2i+1)


B

2

=

(k

1

-k

2

)

iA

1

a

2k+1

+

{k

1

i+k

2

(i+1)}B

1

.


k

1

(2i+1)



(5)


Таким путём мы можем найти условия, которым должен удовлетворять каждый член разложения потенциала по гармоникам для случая любого числа слоёв, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.

312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен a1 и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса a2, вне которой удельное сопротивление равно k3. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал V не принимает бесконечных значений, и мы имеем B1=0.

Тогда для A3 и B3, коэффициентов во внешней среде, мы находим


A

3

k

1

k

2

(2i+1)^2

=

{k

1

(i+1)+k

2

i}

{k

2

(i+1)+k

3

i}

+


+

i(i+1)

(k

1

-k

2

)

(k

2

-k

3

)


a1

a2


2i+1


A

1

,


B

3

k

1

k

2

(2i+1)^2

=

i(k

2

-k

3

)

{k

1

(i+1)+k

2

i}

a

2

2i+1

+


+

i(k

1

-k

2

)

{k

2

i+k

3

(i+1)}

a

1

2i+1

Перейти на страницу:
Читать далее
Нет соединения с сервером, попробуйте зайти чуть позже
Избранное