Трактат об электричестве и магнетизме

Поэтому, если ±d - наибольшее отклонение электрометра, могущее оказаться не замеченным, a D - отклонение, зарегистрированное во второй части опыта, то q не может превосходить ±(1/72)·(d/D) (поскольку 0,1478qV/(1/486·V) должна быть меньше, чем d/D).

Даже в грубых опытах D превосходило 300d так что q не может превосходить ±1/21600.

Теория этого опыта

74 в. Найдём потенциал в произвольной точке, создаваемый однородной сферической оболочкой при силе расталкивания двух единичных зарядов, описываемой заданной функцией расстояния.

Пусть (r) - расталкивание двух единичных зарядов на расстоянии r, а f(r) - такая функция, что

df(r)

dr

(=f'(r))=r

^r

f(r)

dr

.

(1)

Пусть радиус оболочки равен a а поверхностная плотность заряда на ней . Тогда если через обозначить полный заряд на оболочке, то

=4a^2

(2)

Пусть b - расстояние заданной точки от центра оболочки, а r - расстояние этой точки от любой данной точки оболочки.

Если мы введём сферические координаты точки на оболочке, выбрав полюс в центре оболочки, а ось проходящей через заданную точку, то получим

r^2

=

a^2

+

b^2

-

2ab cos

.

(3)

Заряд элемента оболочки равен

a^2 sin

d

b

,

(4)

а потенциал, создаваемый этим элементом в заданной точке, равен

a^2 sin

f'(r)

r

b

d

.

(5)

Это выражение нужно проинтегрировать по от =0 до =2, что даёт

2

a^2 sin

f'(r)

r

b

.

(6)

Остаётся провести интегрирование по от =0 до =.

Дифференцируя (3), найдём

r

dr

=

ab

sin

d

.

(7)

Подставляя значение d в (6), получим

2

a

b

f'(r)

dr

.

(8)

Интегрирование даёт

V

=

2

a

b

{

f(r

₁

)

-

f(r

₂

)

},

(9)

где r₁ - наибольшее значение r равное всегда a+b а r₁ - наименьшее значение r, равное b-a в случае, когда заданная точка находится вне оболочки, и a-b когда эта точка внутри оболочки.

Если - полный заряд оболочки, a V - создаваемый им потенциал в данной точке, то для точек вне оболочки

V

=

2ab

{

f(b+a)

-

f(b-a)

},

(10)

на самой оболочке

V

=

2a^2

f(2a),

(11)

а для точек внутри её

V

=

2ab

{

f(a+b)

-

f(a-b)

},

(12)

Найдём теперь потенциалы двух концентрических сферических оболочек с радиусами внешней и внутренней оболочек равными a и b и зарядами и .

Обозначая потенциал внешней оболочки через А, а внутренней через В, мы найдём из вышесказанного, что

A

=

2a^2

f(2a)

+

2ab

{

f(a+b)

-

f(a-b)

},

(13)

B

=

2b^2

f(2b)

+

2ab

{

f(a+b)

-

f(a-b)

},

(14)

В первой части опыта оболочки соединены короткой проволочкой и приобретают обе одинаковый потенциал V.

Полагая A=B=V и решая уравнения (13) и (14) относительно , мы найдём заряд на внутреннем проводнике:

=

bf(2a)-a[f(a+b)-f(a-b)]

f(2a)f(2b)-[f(a+b)-f(a-b)]^2

(15)

В опыте Кавендиша полусферы, образующие оболочку, отводились на расстояние, которое мы можем считать бесконечным, и разряжались. Потенциал внутренней оболочки (т. е. шара) становился при этом равным

B

₁

=

2b^2

f(2b)

.

При повторении опыта в Кавендишской Лаборатории наружная оболочка оставалась на месте, но заземлялась, так что A=0. В этом случае для потенциала внутреннего шара, выраженного через V, получим

B

₂

=

V

1-

a

b

f(a+b)-f(a-b)

f(2a)

.

(17)

74 г. Примем теперь вместе с Кавендишем, что сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния, не сильно отличающейся от двойки.

Положим

(r)=r

^q-2

,

(18)

тогда

f(r)

=

1

1-q^2

r

^q+1

.

(19)

Если считать q малым, то это выражение можно представить по теореме об экспоненте в виде разложения

f(r)

=

1

1-q^2

r

1+

q ln r+

1

1·2

(q ln r)^2

+…

.

(20)

Если пренебречь членами, содержащими q^2 то выражения (16) и (17) примут вид

B

₁

=

1

2

a

a-b

Vq

ln

4a^2

a^2-b^2

-

a

b

ln

a+b

a-b

,

(21)

B

₂

=

1

2

Vq

ln

4a^2

a^2-b^2

-

a

b

ln

a+b

a-b

.

(22)

Отсюда можно найти q по данным опыта.

74 д. Лаплас первым показал, что никакая функция расстояния, кроме обратно пропорциональной квадрату расстояния, не удовлетворяет условию, что однородная сферическая оболочка не действует на частицу, находящуюся внутри неё ².

² M'ec. C'el., I, 2.

Если мы примем, что в выражении (15) всегда равно нулю, мы сможем применить метод Лапласа для нахождения вида f(r) Из (15) следует, что

bf

(2a)

-

af

(a+b)

+

af

(a-b)

=0.

Дифференцируя дважды по b и деля на a, получим f''(a+b)=f''(a-b).

Если это равенство выполняется тождественно, то f''(r)=C₀=const. Отсюда f'(r)=C₀r+C₁ и, согласно (1),

^r

(r)

dr

=

f(r)

r

=

C

₀

+

C₁

r

,

(r)

=

C₁

r^2

.

Заметим здесь, что хотя предположение Кавендиша о том, что сила меняется как некоторая степень расстояния, представляется менее общим, чем предположение Лапласа, что сила является произвольной функцией расстояния, оно является единственным совместимым с тем фактом, что подобные поверхности могут быть заряжены так, чтобы иметь подобные электрические свойства.

Ибо, если бы сила была функцией расстояния, отличной от степенной, то отношение сил на двух различных расстояниях не было бы функцией отношения расстояний, а зависело бы от абсолютного значения этих расстояний и поэтому содержало бы отношения этих расстояний к абсолютно фиксированной длине.