Трактат об электричестве и магнетизме

Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.

В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.

Определение потенциала. Потенциал в Точке - это работа, которая была бы совершена электрическими силами над единичным положительным зарядом, внесённым в эту точку без искажения распределения заряда, при переносе его из этой точки на бесконечное расстояние, или, что то же самое-работа внешнего источника при переносе единичного положительного заряда из бесконечности (или из любого места, где потенциал равен нулю) в данную точку.

Выражение напряжённости и её составляющих через потенциал

71. Поскольку полная электродвижущая сила вдоль любой дуги АВ равна E_AB=V_A-V_B, то, положив дугу АВ равной ds получим для составляющей напряжённости в направлении ds: R cos =-(dV/ds), откуда, приняв последовательно ds параллельными каждой из осей, получим

X

=-

dV

dx

,

Y

=-

dV

dy

,

Z

=-

dV

dz

,

R

=

dV

dx

^2

+

dV

dy

^2

+

dV

dz

^2

1/2

.

Саму напряжённость, величина которой равна R а составляющие равны X, Y, Z мы будем обозначать готической буквой E как в п. 68.

Потенциал во всех точках внутри проводника одинаков

72. Проводник - это тело, которое позволяет электричеству перемещаться от одной части тела к другой под действием электродвижущей силы. Если электричество находится в равновесии, то внутри проводника не может быть электродвижущей напряжённости. Таким образом, R=0 во всем объёме, занятом проводником. Отсюда следует, что (dV/dx)=0, (dV/dy)=0, (dV/dz)=0, так что для всех точек проводника V=C где C - постоянная величина.

Поскольку потенциал во всех точках внутри проводника равен C, величину C называют Потенциалом проводника. C можно определить как работу, которую должна совершить внешняя сила, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности на проводник в предположении, что распределение электричества не искажается в присутствии этого единичного заряда.

В п. 246 будет показано, что в общем случае контакта двух тел различного рода через поверхность контакта действует электродвижущая сила от одного тела к другому, так что, когда они находятся в равновесии, потенциал одного тела выше потенциала другого. Поэтому мы пока будем считать, что все наши проводники сделаны из одного и того же металла и находятся при одинаковой температуре.

Если потенциалы проводников A и B равны соответственно V_A и V_B, то электродвижущая сила вдоль проволоки, соединяющей A и В, равна V_A-V_B в направлении от A к B, т.е. положительное электричество будет стремиться перейти с проводника с большим потенциалом на другой проводник.

В науке об электричестве Потенциал находится в таком же соотношении с Электричеством, как Давление - с Жидкостью в Гидростатике или Температура - с Теплотой в Термодинамике. И Электричество, и Жидкость, и Теплота стремятся перейти из одного места в другое, если соответственно потенциал, давление или температура в первом месте больше, чем во втором. Жидкость, безусловно, является веществом, теплота, конечно, не является веществом, так что, хотя аналогии такого рода и могут оказать помощь в формировании представлений о формальных соотношениях между электрическими величинами, нужно быть внимательным, чтобы та или иная аналогия не была истолкована как указание на то, что электричество - это вещество, подобное воде, или состояние возбуждения, подобное теплоте.

Потенциал произвольной электрической системы

73. Если имеется единственный точечный заряд величины e и r - расстояние точки x', y', z' от этого заряда, то

V

=

r

R

dr

=

r

e

r^2

dr

=

e

r

.

Если же имеется произвольное число точечных зарядов e₁, e₂ и т. д. в точках с координатами (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), и т. д. и их расстояния до точки (x', y', z') равны r₁, r₂ и т. д., то потенциал системы в точке (x', y', z') равен V=(e/r).

Если плотность заряда в произвольной точке (x, y, z) заряженного тела равна , то потенциал, создаваемый телом, равен

V

=

r

dx

dy

dz

,

где r={(x-x)^2+(y-y)^2+(z-z)^2} ^1/2 а интегрирование производится по всему телу.

О доказательстве закона обратных квадратов