Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Дважды вычитая (4) из (5) и деля на 3, получаем

6x^2

-

7x^3

+

6py^2

-

7py^3

=

0.

(6)

Следовательно, из (4) и (6) имеем

p

=

x

y

5x-4

4-5y

=

x^2

y^2

7x-6

6-7y

,

и мы получаем

y

=

4

7

7x-6

5x-4

,

1

p

=

32

49x

7x-6

(5x-4)^3

.

Как x, так и y являются квадратами синусов углов и должны поэтому лежать в пределах от 0 до 1. Следовательно, либо x лежит между 0 и 4/7, при этом y находится между 6/7 и 1, а 1/p - между и 49/32, или же x лежит между 6/7 и 1, при этом y находится между 0 и 4/7, а 1/p - между 0 и 32/49.

Трёхкатушечный гальванометр

715. Наиболее удобным является расположение катушек, при котором x=1. В этом случае две катушки совмещаются друг с другом и образуют большую окружность сферы радиуса C. Число витков в этой составной катушке равно 64. Две другие катушки образуют малые окружности сферы. Радиус каждой из них равен 4/7C. Расстояние от каждой из них до плоскости первой катушки равно 3/7C. Число витков в каждой из этих катушек равно 49.

Значение G равно 240/C.

Такое расположение катушек показано на рис. 50.

Рис. 50

Поскольку для такого трёхкатушечного гальванометра первым после G членом, имеющим конечное значение, является G, то в большей части пространства внутри сферы, на поверхности которой лежат катушки, поле силы будет довольно однородным.

Если бы мы могли намотать провод по всей сферической поверхности, как описано в п. 672, мы получили бы поле абсолютно однородной силы. Однако, даже отвлекаясь от того, что область внутри такой катушки, образующей замкнутую поверхность, недоступна извне, практически невозможно распределить обмотку на сферической поверхности с достаточной точностью.

Исключая из цепи тока среднюю катушку и пропуская ток через две боковые катушки в противоположных направлениях, мы получаем поле силы, которое в направлении оси обладает почти однородным действием на магнит или катушку, подвешенные в нём так, что их ось совпадает с осью катушек, см. п. 673. Действительно, в этом случае все коэффициенты нечётных порядков исчезают, а в силу равенства =3/7 мы имеем P'=(5/2)(7^2-3)=0.

Следовательно, выражение (6) п. 695 для магнитного потенциала вблизи центра катушки принимает вид

=

8

7

3

7

n

-3

r^2

C^2

P

+

11

7

r

C

P

+…

,

где n - число витков в каждой из катушек.

О необходимой толщине провода гальванометра при заданном внешнем сопротивлении

716. Пусть форма каркаса, внутри которого наматывается катушка гальванометра, задана и требуется определить, должен ли он быть заполнен длинным тонким или коротким толстым проводом.

Пусть l - длина провода, y - его радиус, y+b - радиус провода с покрытием, - удельное сопротивление, g - значение G для единицы длины провода, а r - та часть сопротивления, которая не зависит от гальванометра.

Сопротивление провода гальванометра равно

R

=

l

y^2

.

Объём катушки равен V=l(y+b)^2.

Электромагнитная сила равна G, где - сила тока, а G=gl.

Если E является электродвижущей силой, действующей в контуре с сопротивлением R+r, то E=(R+r).

Электромагнитная сила, обусловленная этой электродвижущей силой, равна EG/(R+r), её мы и должны сделать максимальной, меняя величины y и l.

Перевёртывая эту дробь, мы получаем выражение

g

1

y^2

+

r

gl

,

которое следует сделать минимальным. Следовательно,

2

dy

y^3

+

r dl

l^2

=

0.

Если объём катушки остаётся постоянным, то

dl

l

+2

dy

y+b

=

0.

Исключая dl и dy, получаем

y+b

y^3

=

r

l

,

или

r

R

=

y+b

y

.

Таким образом, толщина провода в гальванометре должна быть такой, чтобы внешнее сопротивление относилось к сопротивлению катушки гальванометра как диаметр провода вместе с изоляцией к диаметру собственно провода.

О чувствительных гальванометрах

717. При конструировании чувствительного гальванометра назначение каждой из его частей состоит в обеспечении максимально возможного отклонения магнита посредством малой заданной электродвижущей силы, приложенной между клеммами катушки.

Протекающий по проводу ток производит наибольшее действие тогда, когда он находится на возможно более близком расстоянии от подвешенного магнита. Магнит, однако, должен свободно колебаться, и поэтому какое-то пространство внутри катушки необходимо оставить пустым. Это определяет границу катушки изнутри.

Вне этой области каждый виток должен располагаться так, чтобы производить максимально возможное воздействие на магнит. По мере увеличения числа витков заполняются наиболее выгодные места, так что в конце концов сопротивление нового витка более уменьшает действие тока предыдущих витков, нежели сам новый виток добавляет к нему. Изготавливая внешние витки из более толстого провода, чем внутренние, мы получаем наибольший магнитный эффект при заданной электродвижущей силе.

718. Будем предполагать, что витки в гальванометре представляют собой окружности, а ось гальванометра проходит через центры этих окружностей под прямым углом к их плоскостям.