Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

xy^2

a^2

+…

+

a

^-(n-1)

{

x

ⁿ

A

_n

+

x

^n-2

x^2A'

_n

+

x

^n-4

xA''

_n

+…}

+…

и

B

=

-2a

+

Bx

+

B

x

a

+

B'

y^2

a

+

B

x^3

a^2

+

B'

xy^2

a^2

+… ,

a и a+x - радиусы окружностей, а y - расстояние между их плоскостями.

Нам нужно определить значения коэффициентов A и B. Очевидно, что они могут содержать только чётные степени y, потому что при изменении знака y величина M должна остаться неизменной.

Другой набор условий мы получаем из свойства взаимности коэффициента индукции, который остаётся тем же самым независимо от того, какую из окружностей мы берём в качестве первичной. Поэтому величина M должна остаться той же самой, когда в приведённых выше выражениях мы подставим a+x вместо a и -x вместо x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых сочетаниях x и y, мы находим таким способом следующие условия взаимности:

A

=

1-A

,

B

=

1-2-B

,

A

=

-A-A

,

B

=

1

3

-

1

2

A+A-B-B

,

A'

=

-A'-A'

,

B'

=

A'-B'-B'

;

(-)

ⁿ

A

_n

=

A

+

(n-2)A

+

(n-2)(n-3)

1·2

A

+…+

A

_n

,

(-)

ⁿ

B

_n

=-

1

n

+

1

n-1

A

-

1

n-2

A

+…+

(-)

ⁿ

A

_n-1

+

+

B

+

(n-2)B

+

(n-2)(n-3)

1·2

B

+…+

B

_n

.

Из общего уравнения для M, п. 703,

d^2M

dx^2

+

d^2M

dy^2

-

1

a+x

dM

dx

=

0

мы получаем другой ряд условий:

2A

+

2A'

=

A

,

2A

+

2A'

+

6A

+

2A'

=

2A

;

n(n-1)A

_n

+

(n-1)nA

_n+1

+

1·2A'

_n

+

1·2A'

_n+1

=

nA

_n

,

(n-2)(n-3)A'

_n

+

(n-1)(n-2)A'

_n+1

+

3·4A''

_n

+

3·4A''

_n+1

=

=

(n-2)A'

_n

, …;

4A

+

A

=

2B

+

2B'

-

B

=

4A'

,

6A

+

3

A

=

2B'

+

6B

+

2

B'

=

6A'

+

3A'

,

(2n-1)A

_n

+

(2n+2)A

_n+1

=

(2n-1)A'

_n

+

(2n+2)A'

_n+1

=

=

n(n-2)B

_n

+

(n+1)nB

_n+1

+

1·2B'

_n

+

1·2B'

_n+1

.

Решая эти уравнения и подставляя значения коэффициентов, мы приводим ряд для M к виду

M

=

4a

ln

8a

r

1+

1

2

x

a

+

x^2+3y^2

16a^2

-

32x^3+3xy^2

32a^3

+…

+

+

4a

-2-

1

2

x

a

+

3x^2-y^2

16a^2

-

x^3-6xy^2

48a^3

+…

.

Как найти форму катушки, у которой при заданной длине и толщине провода коэффициент самоиндукции максимален

706. Опуская поправки, приведённые в п. 705, мы в соответствии с результата» ми п. 693 находим

L

=

4n^2a

ln

8a

R

-2

,

где n - число витков провода, a - средний радиус катушки, R - среднегеометрическое расстояние поперечного сечения катушки от самого себя, см. п. 691. Если это сечение всюду подобно самому себе, то расстояние R пропорционально его линейным размерам, а n меняется как R^2.

Так как полная длина провода равна 2an, то а меняется обратно пропорционально n. Следовательно,

dn

n

=2

dR

R

и

da

a

=-2

dR

R

,

и мы находим условие, при котором L может иметь максимум:

ln

8a

R

=

7

2

.

Если катушка имеет круговое поперечное сечение радиуса c, то, согласно п. 692,

ln

R

c

=-

1

4

,

и

ln

8a

c

=

13

4

,

откуда

a

=

3,22c

,

или, для того чтобы такая катушка имела максимальный коэффициент самоиндукции, её средний радиус должен превышать радиус поперечного сечения катушки в 3,22 раза. Этот результат был получен Гауссом ³.

³Werke, G"ottingen edition, 1867, Bd. V, p. 622.

Если каркас, на который наматывается катушка, имеет квадратное поперечное сечение, средний диаметр катушки должен в 3,7 раз превышать сторону квадрата.

ГЛАВА XV

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРИБОРЫ

Гальванометры

707. Гальванометр - это прибор, позволяющий регистрировать или измерять электрический ток по его магнитному действию.

Когда этот прибор предназначен для обнаружения существования слабого тока, его называют чувствительным гальванометром.

Когда он предназначен для измерения тока в стандартных единицах с максимальной точностью, его называют эталонным гальванометром.

Все гальванометры основаны на принципе Швайгеровского умножителя (Schweigger’s Multiplier), в котором ток пропускается через провод, намотанный таким образом, чтобы он многократно проходил вокруг некоторой открытой области пространства, где подвешен магнит, и создавал в этой области электромагнитную силу, интенсивность которой измеряется при помощи магнита.

У чувствительных гальванометров катушка устроена таким образом, что её витки занимают положение, при котором они максимально воздействуют на магнит. Поэтому витки укладываются плотно друг к другу, чтобы быть ближе к магниту.

Эталонные гальванометры конструируются так, чтобы размеры и относительное положение всех неподвижных частей были бы точно известны, а небольшие неточности в определении положения подвижных частей вносили бы в расчёты возможно меньшую ошибку.

При создании чувствительного гальванометра мы стремимся сделать поле магнитной силы, в которое подвешивается магнит, по возможности более интенсивным. При конструировании эталонного гальванометра мы хотим сделать поле электромагнитной силы около магнита как можно более однородным и должны знать точное значение его интенсивности при заданной силе тока в катушке.

Об эталонных гальванометрах