Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Теперь мы можем написать значение V в произвольной точке R, на оси или не на оси, путём замены r на z и умножения каждого из членов на зональную гармонику по того же порядка. Действительно, потенциал V должен допускать разложение в ряд по зональным гармоникам по с соответствующими коэффициентами. При =0 каждая из зональных гармоник обращается в единицу, и точка R лежит на оси. Следовательно, эти коэффициенты являются членами разложения V для точки, расположенной на оси. Таким образом, мы получаем два ряда:

V

=

2c

1-cos

+…+

sin^2

i(i+1)

rⁱ

cⁱ

P'

_i

P

_i

+…

,

(4)

или

V'

=

2

c^2

q

1-cos

+…+

sin^2

i(i+1)

cⁱ

rⁱ

P'

_i

P

_i

+…

.

(4')

695. Теперь мы можем, согласно методу п. 670, найти величину потенциала контура из уравнения

=-

1

c

d

dr

(Vr)

.

(5)

Отсюда получаем два ряда:

=

-2

1-cos

+…+

sin^2

i

rⁱ

cⁱ

P'

_i

P

_i

+…

(6)

или

'

=

2

sin^2

1

2

c^2

r^2

P'

P

+…+

+

1

i+1

cⁱ⁺¹

rⁱ⁺¹

P'

_i

P

_i

+…

.

(6')

Ряд (6) сходится при всех значениях r меньших c, а ряд (6') сходится для всех значений r больших c. На поверхности сферы, где r=c, оба ряда дают одно и то же значение , если превышает , т.е. для точек, не занятых магнитной оболочкой; если же величина меньше , т.е. для точек, находящихся на магнитной оболочке,

'

=

+

4

.

(7)

Если принять центр окружности O за начало координат, мы должны положить =/2, и тогда ряды станут такими:

=

-2

1+

r

c

P

+…+

+

(-)

^s

1·3…(2s-1)

2·4…2s

r^2s+1

c^2s+1

P

_2s+1

+…

,

(8)

=

+2

1

2

c^2

r^2

P

+…+

+

(-)

^s

1·3…(2s+1)

2·4…(2s+2)

c^2s+2

r^2s+2

P

_2s+1

+…

,

(9)

где все гармоники являются гармониками нечётного порядка ¹.

¹ Величина телесного угла, опирающегося на окружность, может быть получена более непосредственным путём, а именно:

Телесный угол, опирающийся на окружность, с вершиной в точке Z, находящейся на оси, как легко показать, равен = 2

1-

z-c cos

HZ

.

Разлагая это выражение по сферическим гармоникам, находим = 2

(cos +1) + (P cos - P)

z

c +…+ + (P cos - P_i-1)

zⁱ

cⁱ +…

,

эти разложения справедливы для точек на оси при z меньших и больших c соответственно.

Легко показать, что эти результаты совпадают с полученными в тексте.

О потенциальной энергии двух круговых токов

696. Предположим вначале, что две магнитные оболочки, эквивалентные этим токам, представляют собой участки двух концентричных сфер, имеющих радиусы c и c, причём c больше c (рис. 47). Предположим также, что оси обеих оболочек совпадают и что и - это углы с вершинами в центре C, опирающиеся на радиус первой оболочки и на радиус второй оболочки соответственно.

Рис. 47

Пусть - потенциал, создаваемый первой оболочкой в произвольной точке, находящейся на этой же оболочке; тогда работа, необходимая для удаления второй оболочки на бесконечное расстояние, выражается величиной следующего поверхностного интеграла:

M

=-

d

dr

dS

,

распространённого на всю вторую оболочку. Следовательно,

M

=

1

d

dr

2c^2

d

,

=

4^2

sin^2

c^2

1

c

P'

1

P

+…+

+

c^i-1

cⁱ

P'

_i

1

P

_i

+…

,

или, подставляя значения интегралов из уравнения (2) п. 694,

M

=

4^2

sin^2

sin^2

c

1

2

c

c

P'

P'

+…+

+

1

i(i+1)

cⁱ

cⁱ

P'

_i

P'

_i

+…

.

697. Предположим теперь, что ось одной из оболочек повёрнута относительно точки C, взятой за центр, и составляет с осью другой оболочки угол (рис. 48).

Рис. 48

Нам нужно только ввести в выражение для M зональные гармоники по , и мы найдём более общую формулу для M:

M

=

4^2

sin^2

sin^2

c^2

1

2

c

c

P'

P'

P

+…+

+

1

i(i+1)

cⁱ

cⁱ

P'

_i

P'

_i

P

_i

+…

.

Это и есть величина потенциальной энергии, обусловленной взаимным действием двух круговых токов единичной силы, расположенных так, что нормали, проходящие через центры кругов, пересекаются друг с другом в точке C под углом , причём расстояния от периметров окружностей до точки C равны c и c, и c больше c.

Если какое-то смещение dx меняет значение M, то сила, действующая в направлении этого смещения, есть X=dM/dx.

Например, если ось одной из оболочек может свободно вращаться вокруг точки C, вызывая изменение , то момент силы, стремящийся увеличить , равен , где =dM/d.

Выполняя дифференцирование и помня, что

dP_i

d

=-

sin

P'

_i

где P'_i имеет тот же смысл, что и в предыдущих уравнениях, получим

=

-4^2

sin^2

sin^2

sin

c

x

x

1

2

c

c

P'

P'

P'

+…+

+

1

i(i+1)

cⁱ

cⁱ

P'

_i

P'

_i

P'

_i

+…

.

698. В связи с тем что в этих вычислениях часто встречаются величины P'_i, может оказаться полезной следующая таблица выражений для функций P'_i первых шести порядков; в этой таблице вместо cos фигурирует и вместо sin :

P'

=

1,

P'

=

3,

P'

=

3

2

(5^2-1)

=

6

^2

-

1

4

^2

,

P'

=

5

2

(7^2-3)

=

10

^2

-

3

4

^2

,

P'

=

15

8

(21-14^2+1)

=

15

-

3

2

^2^2

+

1

8

,

P'

=

21

8

(33-33^2+5)

=

21

-

5

2

^2^2

+

5

8

.

699. Иногда удобно представить ряды для M как функции некоторых «линейных» величин следующим образом.

Пусть a - радиус малого контура, b - расстояние от начала координат до плоскости контура и c=a^2+b^2.

Пусть A B и C - соответствующие величины для большого контура.

Тогда ряды для M могут быть записаны в виде

M

=

1·2·^2

A^2

C^3

a^2

cos

+

2·3·^2

A^2B

C

a^2b

(cos^2- 1/2 sin^2)

+

3·4·^2

A^2(B^2- 1/4 A^2)

C

a^2(b^2- 1/4 a^2)

x

x

(cos^3

-

3

2

sin^2cos )

+

…

.