Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Пусть диаметр провода равен d, провод покрыт изолирующим материалом и свернут в катушку. Мы будем предполагать, что сечения проводов располагаются в квадратном порядке, как это показано на рис. 45, и что расстояние между осью любого провода и осью провода, соседнего с ним, как по ширине, так и по глубине катушки равно D. Очевидно, что D больше d.

Рис. 45

Вначале мы должны определить превышение самоиндукции на единицу длины цилиндрического провода диаметра d по сравнению с проводом квадратного сечения со стороной, равной D, т.е.

2ln

R(для квадрата)

R(для окружности)

=

2

ln

D

d

+

4

3

ln 2

+

3

-

11

6

=

2

ln

D

d

+

0,1380606

.

Индуктивное действие ближайших восьми круглых проводов на рассматриваемый провод меньше, чем действие соответствующих восьми квадратных проводов на квадратный провод, помещённый в середине в 2·(0,01971) раза.

Поправками на влияние проводов, находящихся на больших расстояниях, можно пренебречь и общий корректирующий множитель записать в виде

2

ln

D

d

+

0,11835

.

Окончательное значение самоиндукции поэтому равно

L

=

n^2M

+

2l

ln

D

d

+

0,11835

,

где n - число витков, l - длина провода, M - взаимоиндукция двух контуров, имеющих форму среднего провода катушки и помещённых на расстояние R друг от друга, R - среднегеометрическое расстояние между парами точек сечения; D - расстояние между следующими друг за другом проводами, d - диаметр провода.

ГЛАВА XIV

КРУГОВЫЕ ТОКИ

Магнитный потенциал кругового тока

694. Магнитный потенциал, создаваемый в некоторой заданной точке контуром, несущим единичный ток, численно равен телесному углу с вершиной в этой точке, опирающемуся на контур, см. п. 409, 485.

В случае кругового контура телесный угол является телесным углом конуса второго порядка; для точки, находящейся на оси окружности, конус будет прямым. Если точка не находится на оси, конус является эллиптическим; его телесный угол равен площади сферического эллипса, вырезаемого им на сфере единичного радиуса.

Эта площадь может быть выражена в конечном виде через эллиптические интегралы третьего рода. Мы увидим, однако, что более удобно разложить её в виде бесконечного ряда по сферическим гармоникам, поскольку те удобства, которые сопутствуют выполнению математических операций с общим членом такого ряда, с избытком перевешивают хлопоты, связанные с подсчётом числа членов ряда, достаточного для обеспечения практической точности.

Будем считать для общности, что начало координат расположено в произвольной точке оси окружности, т.е. на линии, проходящей через центр окружности перпендикулярно её плоскости.

Рис. 46

Пусть точка O (рис. 46) является центром окружности, расположенная на оси точка C выбрана за начало координат, а точка H находится на самой окружности.

Проведём сферу радиусом CH с центром в точке C. Рассматриваемая нами окружность будет лежать на сфере, являясь её малой окружностью с «угловым радиусом» .

Обозначим CH=c, OC=b=c cos , OH=a=c sin .

Пусть A будет полюсом сферы, а Z - какой-нибудь точкой на оси и пусть CZ=z. Пусть R - произвольная точка в пространстве: CR=x, ACR=.

Пусть P - точка пересечения сферы отрезком CR.

Магнитный потенциал, создаваемый круговым током, равен потенциалу, создаваемому ограниченной этим током магнитной оболочкой с единичной мощностью. Поскольку форма поверхности оболочки безразлична (лишь бы она была ограничена данной окружностью), мы можем предположить, что она совпадает с поверхностью сферы.

В п. 670 мы показали, что если V есть потенциал, создаваемый слоем материи с единичной поверхностной плотностью, распределённой по участку поверхности сферы, ограниченному её малой окружностью, то потенциал , создаваемый магнитной оболочкой, которая ограничена этой же окружностью и имеет единичную мощность, равен

=-

1

c

d

dr

(rV)

.

Мы должны, таким образом, прежде всего найти V.

Пусть заданная точка Z находится на оси окружности, тогда та часть потенциала в Z, которая создаётся элементом dS, расположенным на сферической поверхности в точке P, равна dS/ZP.

Это выражение можно разложить в один из двух следующих рядов по сферическим гармоникам:

dS

c

P

+

P

z

c

+…+

P

_i

z_i

c_i

+…

,

или

dS

z

P

+

P

c

z

+…+

P

_i

c_i

z_i

+…

,

первый ряд сходится при значениях z меньших c, а второй - при z больших c.

Записав dS=-c^2dd и интегрируя по в пределах от 0 до 2 и по , - от cos до 1, находим

V

=

2c

1

cos

P

d

+…+

z_i

c_i

1

cos

P

_i

d

+…

,

(1)

или

V

=

2c

c^2

z

1

cos

P

d

+…+

c_i

z_i

1

cos

P

_i

d

+…

.

(1')

Для P_i имеем характеристическое уравнение

i(i+1)

P

_i

+

d

d

(1-^2)

dP_i

d

=

0.

Следовательно,

1

P

_i

d

=

1-^2

i(i+1)

dP_i

d

.

(2)

Это выражение утрачивает смысл при i=0, но поскольку P, то

1

P

_i

d

=

1-

.

(3)

Так как функция dP_i/d возникает на каждом этапе этого исследования, мы будем обозначать её сокращённо через P'_i. Величины P'_i, соответствующие нескольким значениям i, даны в п. 698.