Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Задавая последовательно значения величины M, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для A получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных z, на которых x принимает найденные значения A, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.

Если положить m=8a и M=nm, то A=x=n^2Ka.. Величину n мы можем назвать индексом линии силы.

Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» ².

²Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).

703. Если положение окружности, ось которой известна, считать заданным через расстояние b от её центра до какой-либо фиксированной точки на оси и через её радиус a, то коэффициент индукции M окружности по отношению к произвольной системе, состоящей из магнитов или токов, подчиняется следующему уравнению:

d^2M

da^2

+

d^2M

db^2

-

1

a

dM

da

=

0.

(1)

Чтобы доказать это, посмотрим, какое число линий магнитной силы будет пересекать окружность, если менять a или b.

(1). Пусть а становится равным a+a, а b остаётся постоянным. При такой вариации окружность, расширяясь, прочертит в своей плоскости кольцевую площадку шириной a.

Если через V обозначить магнитный потенциал в произвольной точке, а ось y направить параллельно оси окружности, то магнитная сила, перпендикулярная плоскости кольца, будет равна -dV/dy.

Для того чтобы найти поток магнитной индукции через эту кольцевую поверхность, мы должны взять интеграл

-

2

0

aa

dV

dy

d

,

где есть угловое положение точки на кольце.

Но эта величина представляет собой вариацию M, обусловленную изменением a, т.е. (dM/da)a. Отсюда

dM

da

=-

2

0

a

dV

dy

d

.

(2)

(2). Пусть b принимает значение b+b, а a остаётся постоянным. При такой вариации окружность прочерчивает цилиндрическую поверхность радиуса a длиной b.

Магнитная сила, перпендикулярная к этой поверхности, равна в любой точке величине dV/dr, где r - расстояние от оси.

Отсюда

dM

db

=

2

0

a

dV

dr

d

.

(3)

Дифференцируя уравнение (2) по a и уравнение (3) по b, получаем

d^2M

da^2

=-

2

0

dV

dy

d

-

2

0

a

d^2V

drdy

d

,

(4)

d^2M

db^2

=

2

0

a

d^2V

drdy

d

.

(5)

Следовательно,

d^2M

da^2

+

d^2M

db^2

=

-

2

0

dV

dy

d

=

1

a

dM

da

,

согласно (2).

(6)

Перенося последний член в левую часть, мы получаем уравнение (1).

Коэффициент индукции двух параллельных окружностей в случае, когда расстояние между их дугами мало по сравнению с радиусами обеих окружностей

704. Для этого случая мы могли бы получить величину M из разложения приведённых выше эллиптических интегралов при близких к единице значениях их модуля. Однако метод, который последует далее, представляет собой более непосредственное применение электрических принципов.

Первое приближение

Пусть радиусы окружностей равны a и a+c, а расстояние между их плоскостями равно b; тогда кратчайшее расстояние между дугами окружностей равно r=c^2+b^2.

Мы должны найти поток магнитной индукции сквозь одну из окружностей, обусловленный единичным током, протекающим по другой окружности.

Мы начнём с предположения, что обе окружности лежат в одной плоскости. Рассмотрим малый элемент s окружности, радиус которой равен a+c. В точке, находящейся в плоскости окружности на расстоянии от середины s и в направлении, образующим с направлением s угол , магнитная сила, обусловленная элементом s, перпендикулярна плоскости окружности и равна (1/^2) sin s.

Чтобы вычислить поверхностный интеграл от этой силы по поверхности, лежащей внутри окружности радиуса a, мы должны найти значение интеграла

2s

/2

r

r

sin

d

d

,

где r и r являются корнями уравнения

r^2

-

2(a+c)

sin r

+

c^2

+

2ac

=

0,

а именно

r

=

(a+c)

sin

+

(a+c)^2sin^2-c^2-2ac

,

r

=

(a+c)

sin

-

(a+c)^2sin^2-c^2-2ac

,

и

sin^2

=

c^2+ac

(c+a)^2

.

Когда c мало по сравнению с a, мы можем положить

r

=

2asin ,

r

=

c/sin .

Интегрируя по , имеем

2s

1/2

ln

2a

c

sin^2

·

sin

d

=

=

2s

cos

2-ln

2a

c

sin^2

+

2ln tg

2

1/2

=

=

2s

ln

8a

c

-2

 (приближённо).

Таким образом, для всей индукции получаем

M

_ac

=

4a

ln

8a

c

-2

.

Так как магнитная сила в произвольной точке, расстояние от которой до искривлённого провода мало по сравнению с его радиусом кривизны, приблизительно такая же, что и магнитная сила прямого провода, мы можем (п. 684) подсчитать разность между потоком индукции через окружность радиуса a-c и окружность A по формуле

M

_aA

-

M

_ac

=

4a

{ln c-ln r}.

Откуда приближённо при условии, что радиус r мал по сравнению с a, находим величину потока индукции между A и a:

M

_Aa

=

4a

(ln 8a-ln r-2).

705. Поскольку взаимная индукция между двумя витками одной и той же катушки представляет собой весьма важную величину для расчётов экспериментальных результатов, я опишу сейчас метод, с помощью которого приближение к M для данного случая может быть осуществлено с любой требуемой степенью точности.

Мы будем предполагать, что величина M представлена в виде

M

=

4

A ln

8a

r

+

B

,

где

A

=

a

+

Ax

+

A

x^2

a

+

A'

y^2

a

A

x^3

a^2

+

A'