Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Если положить =0, то две окружности будут параллельными и будут иметь общую ось. Для того чтобы определить притяжение между ними, мы можем продифференцировать M по b. В результате найдём

dM

db

=

^2

A^2a^2

C

2·3

B

C

+

2·3·4

B^2- 1/4 A^2

C^3

b

+…

.

700. Чтобы вычислить действие катушки прямоугольного сечения, мы должны найденное выражение проинтегрировать по радиусу катушки A и по расстоянию B от её плоскости до начала координат, распространив интегрирование на всю ширину и высоту катушки.

В некоторых случаях непосредственное интегрирование наиболее удобно, однако существуют и другие случаи, когда к более полезным результатам приводит следующий метод аппроксимации.

Пусть P - произвольная функция x и y, требуется найти значение P, где

P

_xy

=

+ 1/2 x

- 1/2 x

+ 1/2 y

- 1/2 y

P

dx

dy

.

В этом выражении P есть среднее значение P внутри пределов интегрирования.

Обозначим через P значение P при x=0 и y=0, тогда, разлагая P по теореме Тейлора, получим

P

=

P

+

x

dP

dx

+

y

dP

dy

+

1

2

x^2

d^2P

dx^2

+…

.

Проинтегрировав это выражение в прежних пределах и разделив результат на xy, мы получим для P:

P

=

P

+

1

24

x^2

d^2P

dx^2

+

y^2

d^2P

dy^2

+

+

1

1920

x

dP

dx

+

y

dP

dy

+

1

576

x^2y

dP

dx^2dy^2

+…

.

Рассмотрим катушку, у которой внешний и внутренний радиусы соответственно равны A+/2 и A-/2, а расстояние плоскостей намотки до начала координат лежит в пределах от B+/2 до B-/2. В этом случае ширина катушки равна , её глубина - ; пусть эти величины малы по сравнению с A или C.

Для того чтобы подсчитать магнитное действие данной катушки, мы можем выписать последовательные члены рядов (6) и (6') п. 695 в следующем виде:

G

=

B

C

1+

1

24

2A^2-B^2

C

^2

-

1

8

A^2

C

^2

+…

,

G

=

2

A^2

C^3

1+

1

24

2

A^2

-15

B^2

C

+

1

8

4B^2-A^2

C

^2

+…

,

G

=

3

A^2B

C

1+

1

24

1

A^2

-

25

C^2

+

35A^2

C

^2

+

+

5

24

4B^2-A^2

C

^2

+…

,

G

=

4

A^2(B^2- 1/4 A^2)

C

+

+

24

^2

C^1^1

{

C(8B^2-12A^2)

+

35A^2B^2(5A^2-B^2)

}+

+

5

8

^2

C^1^1

A^2{A-12A^2B^2+B}

,

…

, … ,

g

=

a^2

+

1

12

^2

,

g

=

2a^2b

+

1

6

b^2

,

g

=

3a^2

(b^2- 1/4 a^2)

+

8

^2(2b^2-3a^2)

+

4

^2

a^2

,

…

,

… .

Величины G, G, G, … относятся к большой катушке. Значение для точек, где r меньше C, равно

=-

2

+

2G

-

GrP

-

Gr^2P

-

… .

Величины g, g, … относятся к малой катушке. Значения ' в точках, где r больше C, равны

'

=

g

1

r^2

P

+

g

1

r^3

P

+

… .

Потенциал одной из этих катушек по отношению к другой в том случае, когда общий ток, протекающий через сечение каждой катушки, равен единице, следующий

M

=

GgP

+

GgP

+

… .

Как найти M через эллиптические интегралы

701. Когда расстояние между периметрами двух кругов соизмеримо с радиусом меньшего из них, приведённые здесь ряды не сходятся достаточно быстро. В любом случае, однако, мы можем найти выражение M для двух параллельных окружностей через эллиптические интегралы.

Действительно, пусть b - длина линии, соединяющей центры окружностей, пусть эта линия перпендикулярна плоскостям обеих окружностей и пусть A и a - радиусы окружностей; тогда

M

=

cos

r

ds

ds'

,

где интегрирование проводится по обеим замкнутым кривым.

В этом случае

r^2

=

A^2

+

a^2

+

b^2

-

2Aa

cos(-')

,

=

-'

,

ds

=

a

d

,

ds'

=

A

d'

,

M

=

2

0

2

0

Aa cos(-')dd'

A^2+a^2+b^2-2Aa cos(-')

=

=

-4

Aa

c

-

2

c

F

+

2

c

E

,

где

c

=

2Aa

(A+a)^2+b^2

,

а F и E - полные эллиптические интегралы модуля c.

Отсюда, помня, что

dF

dc

=

1

c(1-c^2)

{E-(1-c^2)F}

,

dE

dc

=

1

c

(E-F)

,

и что c есть функция b, мы находим

dM

db

=

Aa

bc

1-c^2

{

(2-c^2)E

-

2(1-c^2)F

}.

Если обозначить через r и r наибольшее и наименьшее значения r, т.е.

r^2=(A+a)^2+b^2

,

r^2=(A-a)^2+b^2

,

и через - угол, у которого cos =r/r, то

dM

db

=

-

b sin

Aa

{

2F

-

(1+sec^2)E

},

где F и E - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, модули которых равны sin .

Если A=a, то ctg =b/(2a) и

dM

db

=

-2

cos

{

2F

-

(1+sec^2)E

}.

Величина -dM/db характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.

Ввиду важности величины M для электромагнитных вычислений значения ln (M/4Aa), являющегося функцией b и, следовательно, только , протабулированы в интервале углов от 60 до 90 градусов через 6'.

Второе выражение для M

Другое выражение для M, иногда более удобное, получается, если положить c=(r-r)/(r+r); в этом случае

M

=

8

Aa

1

c

{

F(c)

+

E(c)

}.

Как проводить линии магнитной силы для кругового тока

702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина M постоянна.

Вычислим величину

K

=

sin

(F_sin -E_sin )^2

из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений .

Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат x и z; построим окружность с центром в точке x=(a/2)(sin +cosec ) с радиусом (a/2)(sin -cosec ). Для всех точек этой окружности величина c будет равна, sin . Следовательно, для всех точек этой окружности

M

=

8

Aa

1

K

,

A

=

1

64^2

M^2K

a

.

Теперь A является тем значением x, для которого была найдена величина M. Таким образом, если мы проведём линию, на которой x=A, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение M.